唐 雄

（数学与统计学院黄淮学院，河南 驻马店463000）

0 引言

一直以来，有许多从事生物数学研究的工作是利用数学建模的手段来探讨传染病的传播机理和评价不同控制措施的控制效果。经过多年的研究，逐步提出了根据传染病传播机理所建立的SIR等较为复杂的模型。

1 SIR模型及其动力学分析

1.1 模型的建立

SIR模型广泛地运用于传染病的传播动力学的研究上，比如，天花、肝炎等传染病。为了便于建立相应的数学模型，做如下假设和符号说明：（1）假定传染病在整个传播周期内整个人口的数量不变，即人口的出生率和死亡率相等；（2）易感者和感染者的接触采用双线性发生率；（3）不考虑因病的死亡；（4）整个人群分为易感者S（t）、感染者I（t）和康复者R（t）。因此可以建立如下具有指数出生和指数死亡的SIR模型：

不难推出模型（2）存在如下一个正不变集（S，I）∈D{（S，I）|0≤S≤N，0≤I≤N，0≤S+I≤N}。

由此，可以得到传染病的基本再生数为R0=

1.2 对模型（2）的动力学分析

下面将探讨模型（2）的动力学行为，并且得到使得传染病消失的充分条件。

定理1：当R0<1时，无病平衡点E0（N，0）是全局稳定的。

定理2：当R0>1时，地方病平衡点E1是全局稳定。

由定理1和定理2可知，当比本再生数R0<1时传染病可以得到有效地控制。进一步来说，从R0的表达式可以看出，减少接触率和增大治愈率是控制传染病的重要的手段。

1.3 具有疫苗接种SIR模型的动力学分析

下面探讨免疫疫苗接种对传染病传播的影响，建立具有免疫疫苗接种的传染病传播模型，模型如下：

其中μ是免疫接种率，可以得到模型（4）的前两个方程与R无关，对模型（4）的理论分析可以考虑如下约简模型：

令模型（5）两个方程右端的等于0，可以得到模型（5）的两个平衡点分别为：无病平衡点总是存在的，当βNb<（b+γ）（b+μ）时存在地方病平衡点因此，在免疫疫苗接种的情况下，可以得到模型（4）的有效再生数为：