裴银东， 陈华伟， 徐卫平， 李文迪， 钟世昊

(贵州师范大学机械与电气工程学院， 贵阳 550000)

传统的牙齿矫正采用弓丝和托槽，交谈当中会暴露出弓丝和托槽，影响口腔卫生和美观。隐形矫治具有广泛的适应证，适合门牙外凸、深覆合、牙列拥挤等问题的正畸矫治，能达到矫正过程和矫治结果整齐、美观、舒适、卫生的效果。

隐形矫治器(隐形牙套)最早由Align Technology Inc(ALGN)公司于1997年研制[1]。在中国，由首都医科大学与时代天使生物科技有限公司合作，研制成功口腔正畸无托槽隐形矫治器系统[2]。隐形牙套由热压膜材料制作而成，矫治器变形后缓慢释放出轻柔的矫治力诱导牙周膜细胞表面增强，有利于牙周组织修复再生[3-4]。徐琳[5]发现，与传统固定矫治器相比，隐形矫治器的应力分布更均匀，有利于牙周组织的重建。矫治器佩戴于牙齿上，牙齿的局部点或面与矫治器接触，由矫治器产生的回弹力施加在牙齿表面上，使得牙齿产生倾斜、平行、控根和旋转移动，其核心是隐形矫治器与牙齿的接触受力分析问题。从微观角度考虑，任何表面都是凹凸不平的，Greenwond等[6]结合弹性接触赫兹理论(Hertz)建立了粗糙表面法向接触的解析模型。Tian等[7]基于体积守恒规律推导出了考虑微凸体塑性变形的模型。Zhao等[8]根据试验，获得了弹塑性阶段接触应力变化规律。Mantovani等[9]和Kogut等[10]利用有限元方法对半球体与刚性平面接触时接触面积以及接触应力与变形量之间的关系进行了研究。Li等[11]基于接触载荷、接触面积和平均接触应力的连续性，构建弹塑性接触模型。

目前，正畸医生对隐形矫治器与牙齿接触产生的作用力系还不能有直观和量化的控制和判断，研究两者的接触力学和牙齿应力分布情况，对整个口腔临床应用有指导意义。为此，结合弹性力学和经典Hertz理论，构建隐形矫治过程中的弹性、弹塑性和塑性接触变形模型，并给出算例，再以下颌第一前磨牙为研究对象，对第一前磨牙的倾覆和移动矫治过程展开接触应力应变分析。

1 材料性能与选择

1.1 材料性能

临床应用中，隐形矫治器采用线弹性热塑性塑料合成材料制成，涵盖聚丙烯类的聚合物、共聚酯类的聚合物、纤维素塑料、聚烯烃类塑料、丙烯酸类树脂等。隐形矫治器由膜片压制而成，要求有透明性、力学性能、唾液吸收性能、生物相容性、化学稳定性等材料性能要求。常用膜片材料性能如表1所示。

表1 隐形矫治器膜片材料性能参数

1.2 材料选择

从隐形矫治器的屈服应力、应变、拉伸强度考虑，当矫治力过大时，患者会感到疼痛或不舒服，矫治力需要限定在一个合理的范围之内[12-13]。唐娜等[14]构建的隐形矫治生物力学模型，研究结果显示矫治器厚度在0.75 mm时，产生的回弹力最好。基于矫治器材料性能要求和口腔矫治力限定，本文中选用PETG-MX711膜片，该膜片以非晶形改性聚酯(PETG)为基体材料，加入聚碳酸酯(PC)和热塑性聚氨酯弹性体(TPU)改变参数性能[15]，以改善隐形矫治器的综合性能。矫治器厚度有1.5、1、0.75、0.5 mm等不同规格，后续实验中，选定的材料厚度为0.75 mm、弹性模量816 MPa。

2 接触分析与计算

牙齿矫正过程中，矫治器与牙齿接触部位是不规则的局部点或面接触，考虑到牙齿的弹性模量远远大于隐形牙套，因此，根据弹性半空间理论，假设牙套弹性体，牙齿刚性接触面，据此建立隐形矫治接触模型。再结合接触力学和弹性接触Hertz理论，从弹性、弹塑性和塑性三方面分析计算接触部位的接触面积、接触应力及其接触变形之间的关系。

2.1 接触模型构建

假设牙齿是刚性表面，矫治器接触部位用一个弹性的微凸体半空间表示，牙齿被包裹在矫治器之内，牙齿受到包裹面限制，受力部位局部接触，而其余部位半接触或不接触，从而形成一个复杂的接触力学系统，如图1所示。

根据Hertz理论，接触应满足接触表面无摩擦，接触应变小应变，接触区域是一个弹性半空间体，接触表面连续且非协调。以此为基础，设定矫治器模型构建条件：①牙齿与矫治器是刚体与柔体接触，接触模型中前者不变形，后者变形；②不考虑接触硬化和硬度随深度的变化；③不考虑摩擦。

R为隐形矫治器微凸体半径；Z为微凸体变形前长度；A为受力 变形量；d为变形剩余长度；F为施加的力图1 构建接触模型Fig.1 Building a contact model

2.2 弹性变形状态

当隐形矫治器刚接触牙齿时，矫治器处于弹性接触变形阶段，储存的弹性势能得到释放，此时患者感到疼痛、不舒服的情形。矫治器在寻找合适的受力点，此阶段释放的回弹力最大，牙齿移动的效果最好。真实法向接触变形量W小于初始屈服点的临界法向变形量W′(W≤W′)，真实接触面积Ane、接触载荷Fe、接触应力Pe和接触变形量之间的关系式为

Ane=RWπ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：H为隐形矫治器硬度；υ1为隐形矫治器的泊松比,υ2为牙齿的泊松比；R为隐形矫治器微凸体的半径；E1为隐形矫治器的弹性模量、E2为牙齿的弹性模量；E为复合弹性模量(微凸体与刚性平面接触)，E=E1(1-W2)；K为最大接触压强系数；K=0.454+0.41W。

Hertz接触中，隐形矫治器与下颌第一前磨牙接触部位投影在平面直角坐标系中呈椭圆形，椭圆长半轴和短半轴分别为a、b，结合Greenwond模型计算椭圆的离心率e、椭圆的长半轴[16]和短半轴、接触中心处的最大压应力P0、真实接触变形量计算式为

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：K(e)、E(e)为第一类、第二类完全椭圆积分，求解过程表示式，分别为

(10)

(11)

由式(9)得

(12)

将式(11)代入式(8)求解得

(13)

由式(13)得到弹性真实接触面积为

(14)

由式(7)可得到弹性接触载荷计算公式为

(15)

2.3 弹塑性变形状态

隐形矫治器与牙齿接触一段时间，矫治器变形既有弹性变形，又有塑性变形，处于两者混合阶段，Wang等[17]利用有限元方法分析弹塑性接触力学，当真实法向变形量在屈服点的临界法向变形量和110倍屈服点的临界法向变形量之间W′

第一塑性变形区：

(16)

(17)

第二塑性变形区：

(18)

(19)

由弹性变形阶段的式(1)、式(2)、式(4)代入到式(18)、式(19)中，可得到矫治器微凸体发生弹塑性变形时，接触载荷和接触面积之间的关系式为

Anep

(20)

Anepc

(21)

Anepc=7.119 7Ane

(22)

Anpc=205.382 7Ane

(23)

式中：Fep1为第一弹塑性变形阶段接触载荷：Fep2为第二弹塑性变形阶段接触载荷；Anepc为第一弹塑性变形阶段接触面积；Anpc为第二弹塑性变形阶段接触面积。

2.4 塑性变形状态

当隐形矫治器与牙齿接触一周时间后，矫治器弹性势能完全释放，此时矫治器处于塑性接触变形，真实法向变形量大于完全发生塑性变形的临界法向变形，矫治器微凸体将发生塑性变形。Mohamma等[18]通过试验和理论分析，给出完全塑性变形状态接触面上实际接触面积、接触载荷、接触应力的变化规律，计算式为

W2=100W′

(24)

Anp=2πRW

(25)

Fp=2πRWH

(26)

Pp=H

(27)

式中：W2为塑性变形变形量；Anp为塑性变形接触面积；Pp为塑性变形接触应力。

2.5 算例

1.2节选定了PETG-MX711膜片材料，材料参数有矫治器硬度84，泊松比0.4；矫治器模型微凸体半径取0.5 mm,弹性模量816.31 MPa；牙齿的弹性模量18 600 MPa，泊松比0.3；设定中间参数：最大压强系数0.62，复合弹性模量816 MPa。将这些参数代入计算，得到不同变形阶段的计算结果如表2所示。

表2 计算结果

牙齿移动主要是矫治器发生弹性变形和弹塑性变形的结果，表2算例中，得到弹性变形临界变形量0.049 mm，真实变形量0.038 mm，接触部位应力30.58 MPa；在弹塑性变形阶段，第一、第二接触面积0.420 mm2，1.212 mm2，产生的载荷为39.16 N，52.04 N；另外，给出了塑性变形的理论计算结果，在实际矫治过程中，这种情况不允许发生。由计算结果看，从弹性到弹塑性，再到塑性变形，矫治器的变形量、接触应力和接触面积总体呈增大趋势，但在塑性变形阶段，由于接触部位产生脱离，真实接触面积反而减小。

3 仿真模型预处理

以下颌第一前磨牙为研究对象，展开倾斜和平行移动方面接触仿真，首先对模型进行预处理，包括牙齿模型多边形修正和精确曲面处理、隐形矫治器建模、接触边界条件的设置，以及参数定义和网格划分等步骤。

3.1 牙齿模型网格处理

选用一病例牙齿模型数据作为建模素材，确保牙齿牙列基本正常，将牙齿点云模型数据(.asc文件)导入到Geomagic Studio 2017(逆向工程软件)软件中，主要对牙齿模型进行多边形修正和精确曲面处理(图2)。前者旨在优化模型表面质量，包括去噪、光滑、删除钉状物、网格医生修复、填充修补孔、裁剪多余边、简化多边形等操作；后者用于获得牙齿光滑曲面模型，提升模型渲染效果并便于后续模型处理，包括曲率计算、构造格栅、曲面拟合等。

3.2 隐形矫治器建模

针对具体病例，三维口腔扫描仪只能扫描牙齿模型，但为了展开仿真接触分析，还需要创建矫治器模型，为此，采用总体偏移法构造矫治器模型。以牙齿外表面为基准，向外偏移获得牙套曲面：①沿牙冠外表面法线方向向外扩展0.75 mm，得到矫治器厚度；②单独处理矫治器上的每一颗牙齿，剪去与相邻牙齿重叠和交叉部分；③沿牙劲缘弧度方向裁剪掉牙龈多余部分，得到矫治器雏形；④进行多边形修正和精确曲面处理，完成建模过程，矫治器是一个封闭厚度为0.75 mm的实体模型(图2)。

图2 牙齿和矫治器模型Fig.2 Tooth and appliance model

3.3 边界条件的设置

将处理好的牙齿模型和矫治器模型导入ANSYS(有限元仿真软件)中，按非线性分析设定边界条件[19-21]；定义牙槽骨周围固定约束，牙根与牙周膜、牙周膜与牙槽骨之间不发生相对移动，隐形矫治器与牙齿匹配接触，矫治器的内表面与各牙冠外表面定义为摩擦接触(牙齿局部移动可以是全牙列支抗)。

3.4 ANSYS网格划分

假设牙齿、牙周膜和牙槽骨为均匀、各向同性、线弹性材料。网格划分选用三角形单元网格，总共划分成22 825个节点数，11 627个单元数,如图3所示模型的划分参数如表3所示。

表3 模型相关参数

图3 网格划分Fig.3 Meshing and dividing

4 仿真分析

在ANSYS Workbench中实施非线性接触有限元分析，对下颌第一前磨牙倾斜和平行移动进行接触力学数值仿真，得到三维总变形、应力、应变变形云图和不同部位的变形折线图。

4.1 矫治力的选择

郁雯科[22]认为牙齿的移动主要依靠牙槽骨吸收和重建完成，施加于牙齿上的力在0.1～1.5 N 的范围之内。具体根据患者牙齿的情况和移动方式决定，得出牙移动最适宜的矫治力范围在0.98～1.47 N[23]，结合文献[22-23]作为施力依据，模拟矫治器施加在下颌第一前磨牙上的力，本文添加的力系在表2中。

4.2 倾斜和平行移动

在口腔正畸学中，下颌第一前磨牙倾斜移动和平行移动是在牙冠唇侧单侧受力，以阻抗中心为中心向舌侧倾斜或平行整体移动。Workbench参数设置在唇侧牙冠上，添加0.45 N的力，矫治力使下颌第一磨牙倾斜移动；在不同牙龈缘部位施加 0.15 mm 的位移载荷，矫治力使牙齿产生平行移动。表4中对倾斜和平行移动分别添加了不同力载荷和位移载荷组成实验组，位移载荷和力载荷产生的作用效果一致，由郁雯科[22]和杨晓丽[23]中的载荷设置为参考依据。

表4 实验组数据

4.3 结果分析

隐形矫治器与下颌第一前磨牙接触，矫治器释放的回弹力产生的作用效果，倾斜和平行移动接触的总变形、矫治器变形、应力应变变形云图如图4、图5所示。不同实验组数据的总变形、应力应变折线图如图6所示。

图4 倾斜移动变形云图Fig.4 Oblique movement deformation cloud map

图5 平行移动变形云图Fig.5 Parallel movement deformation cloud

图6 不同力系下总变形、应力图Fig.6 Diagrams of total deformation and stress under different force systems

图4中，下颌第一前磨牙向舌侧倾斜移动，矫治器向舌侧内凹变形，唇侧近中颊尖，远中颊尖处变形最大(红色区域变形最大，蓝色区域变形最小，不同颜色区域代表不同变化趋势)，变形从上到下逐渐减小，变形最大区0.177 mm，根尖点处变形最小，变形量0.019 mm。应变最大区域在唇面近中颊尖处，最大应变0.075，最小应变在根尖处，最小应变为0.008。应力云图上，最大应力236.9 MPa,最小应力区域出现在牙根部位，应力为26.3 MPa。

图5中，下颌第一前磨牙平行移动，矫治器向舌侧面内凹变形，施力面为唇侧面，唇侧近中颊尖，远中颊尖等变形最大，根尖点处相对变形小，最大变形0.257 mm,最小变形0.028 mm。在应变云图上，产生应变最大0.132,最小应变0.014；在应力云图上，最大应力393.9 MPa,最小应力43.7 MPa。

图6为倾斜和平行移动总变形、应力实验图，图中的数字代表不同实验组。结合理论部分计算，理论计算临界变形量0.049 mm,接触应力30.58 MPa,真实变形量0.038 mm,接触面积0.059 mm2,仿真接触部位应力为26.3 MPa，变形量0.059 mm，在添加力载荷和位移载荷条件下，得到不同部位的应力变化，倾斜和平行移动不同部位的总变形量在0.025～0.42 mm，应力变化在26.3～650 MPa。

5 结论

在缺乏严格生物力学理论支撑条件下，正畸医生只能通过传统经验来设计牙齿的位移量和受力部位，提出用接触力学计算和仿真实验相结合的方法展开了隐形矫治力学分析研究，建立局部接触模型，给出了对比算例，对下颌第一前磨牙在不同受力条件下的变形量和应力变化进行了仿真分析。实验结果表明：力和位移载荷均能达到矫治效果，两者并无实质性差别；对下颌第一前磨牙倾斜和平行移动，在0.15～0.21 mm位移载荷和0.45～1 N 力载荷的范围内，移动效率最好，高于此值牙齿应力过大，对牙齿和牙周膜的损伤最大，降低矫正效率。

多数口腔接触力学仿真研究中缺乏理论计算支持，文章采用理论计算和仿真实验相互验证的方法，提高了计算可信度，更好地指导矫治器的优化设计。但考虑到隐形矫治器和牙齿之间还存在摩擦力，后续将以接触模型为基础，进一步展开摩擦接触问题的理论研究。