马文佳

摘 要：本文以上海教育出版社八年级第二学期第二十二章四边形中的一节复习课，《平行四边形复习2》为例，尝试用整体性的思想对平行四边形的性质进行再复习，让学生能够抓住平行四边形性质的本质，帮助学生领会并应用平行四边形的性质。

关键词：整体性;平行四边形复习;中心对称

我们在平时的教学中总会存在这样的困惑，学生知识的学习浮于表面，不会进行融会贯通，探究其原因，其中之一是教学的“碎片化”，教学中忽视知识内在的关联性，解题的方法和数学思想的渗透。章建跃老师在《从数学整体观看“同底数幂的乘法”的教学》一文中有提到“从整体出发，逐渐分化”，就是说我们的教学要有一个整体观，知识要关注内在的联系性，不应将其分离成各个“碎片”。《义务教育数学课程标准》中对整体性教学也提出了要求，“把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，引导学生感受数学的整体性”。下面笔者以上海教育出版社八年级第二学期第二十二章四边形中的一节复习课，《平行四边形复习2》为例，尝试用整体性的思想对平行四边形的性质进行再复习，让学生能够抓住平行四边形性质的本质，帮助学生领会并应用平行四边形的性质。

一、教学过程

问题1：平行四边形ABCD中，∠A的平分线分对边BC为3和4两部分，则平行四边形的周长为

学生独立思考后先画出图像，在画图的过程中发现会有两解，分对边BC并没有确切的说哪一部分是3，哪一部分是4，需要进行分类讨论。通过本题，让学生熟悉平行四边形中常见的基本图形，平行线加上角平分线一定能得到等腰三角形，同时为问题2作铺垫.

问题2：矩形ABCD中，AD=8，AB=4，点M在AD上，点N在BC上，将矩形沿MN翻折，使点D与点B重合.（1）求BM的长.（2）求BN的长

学生画出图像，知道翻折能带来边和角相等的关系。在这样的问题中，我们通常会将问题化归到一个直角三角形中利用勾股定理建立方程来解决问题。在这里让学生体验化归和方程的数学思想。学生口答交流第2小题，基本有两种方法，一是由翻折可得∠BMN=∠DMN，由矩形可得AD∥BC，则可利用问题1得到的基本图形：平行线+角平分线得等腰三角形，证明BM=BN。二是可以通过证明△MOD≌△NOB得到BM=BN。

第二个方法中这两个全等的三角形是关于点O呈中心对称的，如果将MN绕着点O旋转，仍能得到这两个三角形是中心对称的关系。让学生带着从图形运动角度看问题的方法完成问题3。

问题3：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点M、N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为 .

从问题2中得到的启示可以让学生快速找到全等的三角形，通过全等三角形进行面积的转化从而解决问题。从这题中学生可以观察到全等的三角形都是关于点O成中心对称的。教师提出问题，那么这些三角形呈中心对称的关系是否与平行四边形本身的某一条性质有关系。此时学生会想到平行四边形是中心对称图形，而对称中心是两条对角线的交点。可见平行四边形是中心对称图形是一个非常重要的性质，可以从中心对称的角度重新理解平行四边形关于边，角和对角线的性质，发现这些性质的本质都是因为平行四边形是中心对称图形。同时也正是因为平行四边形的中心对称性可以帮助我们快速找到一些相等的量及全等的图形，尤其在复杂的图形中可以给出解题思路和方向。

问题4：已知：如图2，在平行四边形中，点O对角线AC的中点，过点O的直线MN、EF分别交边AD、BC于点M、N，交边AB、CD于点E、F.

（1）求证：四边形ENFM为平行四边形

（2）当四边形ENFM为矩形且∠AOE=∠CON时，求证：BE=BN

由问题3中所得到结论可以快速找到哪些相等的量，这对证明第1题有帮助吗？此时学生由平行四边形是中心对称图形可以快速找到△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，从而得到OM=ON，OE=OF，再由对角线互相平分的四边形是平行四边形证得四边形ENFM为平行四边形。这一题是一道初三二模题，虽然图形比较复杂，但是抓住平行四边形的特征，就能快速找到一些相等的量，并且通过证明这些相等的量来解决问题。从本题中让学体会到从平行四边形中心对称的角度可以很快找到解题思路和方向，但是在具体的解题过程中必须通过全等等方法进行证明。

第2小题解决的关键是利用条件中的信息可以证得△AOE≌△CON，从本题中学生能体会到解决几何问题常用的方法就是从已知条件可以得到什么，从结论需要什么两方面结合进行分析。

二、教学思考

在以往对平行四边形性质的教学过程中，教师是以边、角、对角线三个维度进行的，对学生来说这些性质是零散的，也因为在具体的题目中也很少会用到平行四边形的中心对称性，更多的是用到与边，角和对角线有关的性质，所以教学中常常会忽略平行四边形是中心对称图形这一性质。但从数学知识的整体性考虑，它们其实都与平行四边形是中心对称图形这一性质有关。从图形运动的角度重新理解平行四边形的性质，让学生能够抓住平行四边形关于边、角、对角线性质的本质，建立起这些性质的内在联系，帮助学生更容易领会和应用平行四边形的性质，同时也可以利用平行四边形是中心对称图形快速找到一些相等的量及全等的图形，在复杂的图形中给出解题思路和方向。

“数學整体性教学是将具有结构关联的知识作为一个系统，要以学生的学为中心，要以用知识和方法学习新知，解决问题为目标”。教师在备课的过程中应该要想的多一些，想的远一些，把握知识的内在联系，不能把知识割裂开。在课堂中，仍然要以学生为主体的学习，通过层层问题的递进，能发现这些知识的关联，知道内在本质。在《平行四边形的复习2》这一课中，通过四个问题，让学生知道平行四边形性质的本质，并能在具体的问题中进行应用。在实际的教学中，需要给学生自己充分的时间思考和消化，让学生能在具体的问题中得到平行四边形是中心对称图形这一性质是其它性质的本质，从这点出发，可以找到一些相等的量。问题是由教师设计的，但是最后的结论需要由学生自己去发现，这样才能有利于学生建立起平行四边形性质之间的联系，才是有深度的整体性学习。

参考文献：

[1] 章建跃.从数学整体观看“同底数幂的乘法”的教学[J].中国数学教育，2013（7-8）

[2] 朱先东.指向深度学习的数学整体性教学设计[J].数学教育学报，2019（5）