■刘长柏

命题是数学的重要构成形式,而充分条件、必要条件是数学的重要概念,是对命题进行研究的重要途径,讨论的是“若p,则q”命题中的条件和结论的逻辑关系。因而,“四种条件”问题是高考的必考内容和热门考点。

一、定义法

一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q。这时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件。同学们往往只注意到第一层含义,忽略第二层含义。由p不能推出q,这也说明两层含义:p不是q的充分条件,q不是p的必要条件。

例1“x+y=5”是“x=2,y=3”的( )。

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解:容易知道“x+y=5”不能推出“x=2,y=3”,如当x=1,y=4时,满足x+y=5,但不能得到x=2,y=3。显然“x=2,y=3”能推出“x+y=5”。故“x+y=5”是“x=2,y=3”的必要不充分条件。应选C。

二、传递法

对于较复杂的关系,常用⇒、⇐、⇒/ 等符号进行传递,画出它们的综合结构图,可降低解题难度,显得直观快捷。

例2已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,现有下列命题:①r是q的充要条件;②p是q的充分不必要条件;③r是q的必要不充分条件;④﹁p是﹁s的必要不充分条件;⑤r是s的充分不必要条件。其中正确命题的序号是_____。

解:(法1)由已知得p⇒r,q⇒r,r⇒s,s⇒q,由此得r⇒q且q⇒r,①正确,③不正确。显然p⇒r,r⇒q,p⇒q,②正确。④等价于p⇒s,由p⇒r,r⇒s,可得p⇒s,④正确。显然r⇒s,且s⇒r,⑤不正确。答案为①②④。

(法2)根据题意画出示意图,如图1 所示。由图可得,①②正确,③⑤不正确,④等价于s是p的必要不充分条件,也是正确的。

图1

三、集合关系判断法

已知命题p,q的解集分别为集合A,B,若p是q的充分不必要条件,则A是B的真子集,若p是q的必要不充分条件,则B是A的真子集。

例3不等式≥7 成立的一个必要不充分条件是( )。

A.x≥1 B.x≤-6

C.x≥1或x≤-6 D.x≠0

解:|2x+5|≥7的解集是{x∣x≥1或x≤-6}。欲找出不等式≥7 成立的一个必要不充分条件,需找出真包含集合{x∣x≥1或x≤-6}的集合即可。分析选项可知,{x|x≠0}{x|x≥1或x≤-6}。应选D。

四、等价命题法

原命题与逆否命题等价,逆命题与否命题等价。对于那些带有否定性的命题,可先转化为它的等价命题,再进行判断,这样可培养同学们思维的灵活性。

例4已知命题p:>2;q:,问:﹁p是﹁q的什么条件?

解:由>2,可 得x>2 或x<,所以﹁p:≤x≤2。由,可得x>2 或x<-1,所以﹁q:-1≤x≤2。容易判断﹁p是﹁q的充分不必要条件。

或者,判断﹁p是﹁q的什么条件等价于判断q是p的什么条件(略)。