■王佩其

纲举才能目张,抓住重点,方可事半功倍,集合学习亦如此。那么,学习集合要抓住哪些重点?

一、集合的基本概念

例1下列各式中,正确的序号是____。(写出所有正确的序号)

①∅={0};②∅⊆{0};③∅∈{0};④0={0};⑤0∈{0};⑥{1}∈{1,2,3};⑦{1,2}⊆{1,2,3};⑧{a,b}⊆{b,a}。

解:∅不含任何元素,{0}是以0 为元素的集合,①错误。∅是任何集合的子集,②正确。∅是一个集合,集合与集合之间不能用属于符号,③错误。0 是一个数,不是集合,它与集合之间不能使用等于符号,④错误。{0}是以0为元素的集合,则0∈{0},⑤正确。{1}和{1,2,3}都是集合,集合与集合之间不能用属于符号,⑥错误。{1,2}和{1,2,3}都是集合,{1,2}中的元素都在{1,2,3}中,则{1,2}⊆{1,2,3},⑦正确。{a,b}和{b,a}都是集合,两个集合中的元素完全相同,则{a,b}⊆{b,a},⑧正确。答案为②⑤⑦⑧。

方法归纳:研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合,然后看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义。利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性。

二、集合间的基本关系

例2已知集合A={x|x2-4=0},B={x|ax=1},若B⊆A,则实数a的值是( )。

解:易得A={x|x2=4}={2,-2}。由B⊆A,可对B分情况讨论求解。

当B={2}时,由2a=1,可得a=;当B={-2}时,由-2a=1,可得a=-;当B=∅时,可得a=0。

综上可得,a=0或a=±。应选C。

方法归纳:已知两个集合间的关系求参数的关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系。解决这类问题要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解。用描述法表示集合时应注意集合的代表元素。

三、集合的基本运算

例3设集合M={x∈R|-2

(1)若t=2,求M∩(∁RN)。

(2)若M∪(∁RN)=R,求实数t的取值范围。

解:(1)当t=2 时,M={x∈R|-2

(2)若M∪ (∁RN)=R,则N⊆M。

当2-t≥3t+1,即t≤时,N=∅,满足题意;当2-t<3t+1,即t>时,令可得。综上可得,实数t的取值范围是。

方法归纳:进行集合运算时,先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算。离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心。