2021年7月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2611设△ABC的外接圆半径，内切圆半径，三边长分别为R,r,a,b,c,三个内角∠BAC,∠ABC,∠ACB对应的旁切圆圆心分别为D,E,F，证明：

(安徽省岳西县汤池中学 苏岳祥 杨续亮 246620)

证明设旁切圆⊙D，⊙E,⊙F的半径分别为rA，rB，rC.如图，∠BAC对应的旁切圆⊙D和AB,BC,CA相切于点M,H,N,

则有DM⊥AB,DH⊥BC,DN⊥AC，

DM=DH=DN=rA,

故有A,M,D,N四点共圆，且AD为直径.

由托勒密定理有

AD·MN=DM·AN+DN·AM

=rA(AN+AM),

易知AN+AM=AB+BM+AC+CN

=AB+AC+BH+CH

=AB+AC+BC=a+b+c.

在△AMN中由正弦定理可得

因此

a·AD2=2RrA(a+b+c).

同理可得

b·BE2=2RrB(a+b+c),

c·CF2=2RrC(a+b+c).

以上三式相加可得

a·AD2+b·BE2+c·CF2

=2R(rA+rB+rC)(a+b+c).(1)

在(2)中由正弦定理可得

由三角恒等式

有

由三角恒等式

可得

同理可得

rA+rB+rC-r

所以rA+rB+rC=4R+r, (3)

把(2)式和(3)式代入(1)式可得

由欧拉定理可得R≥2r,

图1

图2

(湖北省潜江市江汉油田教育实业集团教科院 舒云水 433124)

证明⊙I和三个旁切圆与各边的一些切点如图2所示，连接OA，OB，OC，OQ，OM，OW，由题意知O1在OA上，O2在OB上.

因为CM，CW是⊙O的切线，

所以CM=CW．

同理可得AM=AQ，BW=BQ，AD=AE，

BD=BF，CE=CF．

设AB=c，AC=b，BC=a，△ABC，△ACD和△CDB的面积分别为S，S1，S2．

因为CM=AC+AM=AC+AQ，

CW=BC+BW=BC+BQ．

所以CM+CW=AC+AQ+BC+BQ=a+b+c．

所以

S△ABC=S四边形MOWC-(S四边形MOQA+S四边形WOQB)

同理可得

(四川省成都华西中学 张云华 610051)

⟺5(ab)2+4≤5ab+(ab)3

⟺0≤(ab)3-5(ab)2+5ab-4

⟺0≤(ab-4)[(ab)2-ab+1]

(江苏省徐州市第一中学 张培强 221140)

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

得(a4+b4)x2+2a3(by0-ax0)x

+a2(by0-ax0)2-a2b4=0，

不妨设点P在x轴的上方，则点P在直线MN的上方，所以△PMN的面积

当点P在x轴上时，易得△PMN的面积

(河南省方城县教研室 邵明宪 473200)

解作PE⊥DC于E，连结PD，PC，则由题意，PE⊥平面ABCD，

且∠APD=α，∠BPC=β．

又AD=BC=1，

记DC的中点为O，以O为原点，直线DC为x轴建立平面直角坐标系xOy(图略)，

则点P的轨迹方程为

从而

故

2021年8月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2616平面上给定n个点，任意三点不共线，过任意两点作直线．已知任意两条直线既不平行也不垂直，过这n点中任意一点向另外n-1个点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点(不包括已知的n个点)的个数至多有________个．

(江苏省常熟市中学……