何 灯 周 宁

(1.福建省福清第三中学 350315;2.福建师范大学附属福清德旺中学 350319)

山东省作为新高考综合改革的先行省份，其命制的第一份新高考数学试卷引起社会广泛关注.其中，吸引笔者更多目光的是该卷的导数压轴题.

一、试题再现与解析

题目已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.

分析试题第(2)问以学生熟悉的恒成立条件下求参数范围问题呈现，乍看平淡无奇，朴实无华，细细品味后却感觉内涵丰富，给人启迪．

对于含参函数试题，求解的通法是参数分离法或求导法.但该题包含了以e为底的指数函数和对数函数，因指数对数相互纠缠，运用参数分离法求解无法分离出参数，运用导数法求解无法求出极值点，进一步处理困难.此类问题利用同构法往往能够轻松破解.

所谓同构法，就是通过对不等式恒等变形，将其转化为形如F(g(x))≥F(h(x))(或F(g(x))>F(h(x)))的结构，利用导数研究F(x)的单调性进行求解.此法不但展现了数学的对称和谐美，更是把转化与化归思想体现得淋漓尽致.

下面是文[1]中利用同构法给出试题第(2)问的一个解答.

解析1 由题意f(x)≥1恒成立等价于elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx恒成立，等价于elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx恒成立.令F(x)=ex+x，则F′(x)=ex+1>0，F(x)关于x在(-∞,+∞)上单调递增，从而elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx恒成立等价于F(lna+x-1)≥F(lnx)恒成立，等价于lna+x-1≥lnx恒成立，即lna≥lnx-x+1恒成立.

故lna≥0，a≥1，所求a的取值范围为[1,+∞).

思考(1)上述解法构思巧妙，学生前期如果没有经过训练，无法完成aex-1-lnx+lna≥1到elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx的转化，更难想到构造函数F(x)=ex+x以简化问题求解过程；(2)求解本题，常规的参数分离法和求导法均较难奏效，那么同构法是否是求解本题的唯一方法？