李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

一、题目呈现

题目(2021年八省联考第7题)已知抛物线y2=2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x-2)2+y2=1的切线，则直线BC的方程为( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

二、总体把握

此题以直线和圆相切，直线和抛物线相交为背景，以直线方程为出口，综合考查有关圆锥曲线的技能技巧，考查学生的能力和素养.考生普遍反映难做,因此，我们有必要厘清其本质，探究其解法，为学生做好示范引领工作，使其在同类问题上不在犯难.仔细研究发现，本题内涵丰富，思路开阔，解法较多，是一个复习的好素材.

三、解法探究

视角1 直接求出B，C的坐标，用两点式求解方程.

①

②

③

④

⑤

⑥

故选B.

评析此解法思路简单，容易上手，但是过程较繁，运算量偏大，基础不扎实，计算不过关的学生难以得出正确答案.因此，我们必须另辟蹊径，避开大运算.

视角2 利用抛物线的平均性质作答.

以下同解法1.

评析抛物线的平均性质将问题转化为解方程，题目难度与运算量都降低了,不失为一种好解法，当然需要学生平时积累此知识，学习不能仅限于教材，正所谓知识在书中，题目在书外.

视角3 利用同构原理，设而不求.

整理,得2x-(yB+2)y+2yB=0.

进而3×2xB+12yB+8=0.

所以3xB+6yB+4=0.

⑦

同理3xC+6yC+4=0.

⑧

于是点B，C都在直线3x+6y+4=0上.故选B.

评析本解法依托同构原理，运算简洁.需要学生对同构原理有一定的认识，合理得出方程⑦⑧，利用解析几何的基本原理得解.

视角4 利用抛物线的平均性质和同构法作答.

由点斜式方程得直线BC的方程为3x+6y+4=0.选B.

评析本解法中斜率的处理办法避开了繁杂的代数运算，紧紧依……