谢贤祖

(华南师大附中汕尾学校 516600)

一、勤于积累，利于解题

在旧教材人教A版选修2-2第32页的习题1.3 B组第1题涉及几个常见的不等式.

例1 求证： sinx1+x(x≠0)，lnx0).

众所周知，这几个不等式非常重要，在证明函数不等式或者放缩过程中有着举重若轻的作用，甚至有很多老师和网络大神还总结了更多的不等式，使得它们成为解题利器，并要求学生背诵，以备不时之需，下面先梳理最为常见的和笔者自认为重要的结论并汇总如下.

证明过程较为简单，此处从略.下面笔者先结合2020年高考导数题，分析一下解题思路，展示一下这几个结论的妙用，再谈谈个人的感悟与思考.

例4(2020年山东21题·节选)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的范围.

分析先用“必要性探路”.由题意，得f(1)=a+lna≥1.而g(a)=a+lna是增函数，且g(1)=1，由g(a)=a+lna≥g(1)⟹a≥1.下面先证明a=1时，f(x)≥1恒成立.当a=1时，f(x)=ex-1-lnx.由常见不等式ex≥1+x和x-1≥lnx可得ex-1≥x≥lnx+1.

所以f(x)=ex-1-lnx≥1.所以当a≥1时，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.

总结其实例4所考查的关键不等式：ex-1-lnx≥1，在2013年全国Ⅱ卷21题中考过.题目展示如下：已知函数f(x)=ex-ln(x+m),当m≤2时，证明f(x)>0.所以是旧题重考，略有创新.这两道题都是经典好题，使用常见不等式链ex-1≥x≥lnx+1便可轻松解决，值得作为高三复习的重点素材.

令h′(x)=0，可得x=2.当x∈(0,2)时，h′(x)>0，所以h(x)在x∈(0,2)单调递增；当x∈(2，+∞)时，h′(x)<0，所以h(x)在x∈(2，+∞)单调递减.

例6 (2020年浙江卷22题)已知函数f(x)=ex-x-a(1

(1)证明：f(x)在(0,+∞)上有唯一零点;

(2)设x0是f(x)在(0,+∞)上的唯一零点，证明：

②x0f(ex0)≥(e-1)(a-1)a.

总结上述解法用到常见不等式ex≥1+x,ex≥ex，但是如何想到使用这两个不等式而不使用其它以及如何优雅的一路畅通证明不等式，是需要经过不断尝试、遇到挫折、再调整才能想到的.

二、追本溯源，总结反思

1.恒成立问题首选分离参数，这是比较好想的，……