周如俊

(江苏省灌南中等专业学校 222500)

圆锥曲线上直线过定点问题是近几年高考命题的热点问题.此类试题常涉及对学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等核心素养的考查.

(1)求E的方程；(2)证明:直线CD过定点.

一、“普法”思维——“华山不止一条道”

1.“直求法”——“精心运算”

点评这种解题思维指向是设点P坐标，通过直线PA，PD与椭圆分别有两个交点特征，由韦达定理分别求出两点坐标，写出直线方程，完成定点证明.

2.“特值法”——“猜想论证”

由对称性知，直线CD所过定点必在x轴上，设定点为T(xT,0).

点评这种解题思维指向是从特殊情况猜想定点坐标结论，再证明猜想，体现解题思维的严谨性.

3.“代换法”——“设而不求”

(m2+3)yCyD+m(t-3)(yC+yD)+(t-3)2=0.

点评这种解题思维指向是通过设而不求的策略，直接设直线CD方程x=my+t及C,D两点坐标，借助yC+yD,yC·yD整体代换，找到m，t满足的关系式，进而求出定点坐标.

4.“斜率法”——“对称转化”

以下解法同“代换法”.

点评这种解题思维指向是利用椭圆上点与任意关于原点对称的两条连线的斜率乘积为定值的常用结论，避免了非对称式中因无法使用韦达定理解题被“卡住”的尴尬局面，体现了“对称转化”的简化策略.

5.“三角法”——“恒等变换”

由对称性知，直线CD所过定点必在x轴上.

点评这种解题思维指向是利用椭圆的参数方程，引参设点求直线CD方程，借助三角恒等变换证得定点，体现了“多想少算”的优化策略.

6.“齐次法”——“平移转化”

点评此解法利用过原点两条直线斜率之积为定值的简洁特性，快……