【摘 要】深度备课是将一节课的内容放在大的学科体系中去认识和准备。深度备课有利于教师精准把握教学目标使其更好地指导教学实施，从而从长远的角度促进学生的发展。

【关键词】深度备课;教学目标;函数的零点与方程的解

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）16-0009-02

教师在备课时，不应仅仅备这一节课的内容，而应把这节课放在一个单元中，一个章节中，一册教材中，一个主题中，一条主线中，甚至是整个学科体系中去备这一节课，这样才能精准把握这一节课的重要性以及核心思想，真正发挥这一节课的教学对学生深度学习的作用。本文将以高中数学必修一中的“函数的零点与方程的解”教学设计为例，探索怎样在深度备课下把握教学目标[1-2]。

1   问题引入，回顾旧知——联系学生的已学知识，构建知识链接

问题一：方程 x2?2x?3=0有解吗？

追问1：你用什么方法来找方程的解？

追问2：有同学能用相应的二次函数的图象来判断它的解吗？

问题二：方程 x2?2x?3=0的解与相应的函数 f（x）=

x2?2x?3的图象以及函数f（x）的零点有什么联系？

设计意图：从学生的已学知识入手，联系学生以往的学习经验。学生通过在初中阶段和本册书的第二章第三节的学习，能够建立起一元二次方程，以及相应的二次函数和函数零点之间的转化关系。这里以初中阶段和预备知识的相关联系设计问题情境，以求一元二次方程的解引入，把学生以往的知识经验作为本节课的基础，从而唤起学生的学习兴趣。

2   引发冲突，探求新知——引起学生的认知冲突，激发学生的好奇心与求知欲

问题三：你能找出方程ln x+2x?6=0的解吗？

问题四：对于不能用公式求解的方程，我们怎么研究方程的解的情况呢？

零点的定义：与二次函数的零点一样，对于一般函数f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数f（x）的零点。

设计意图：像问题三中这样的特殊方程，对学生来说是陌生的，他们不能像求一元二次方程那样用公式法去求解。但是受问题一和问题二中把方程和相应函数及函数零点建立联系的启发，学生可以猜想把求ln x

+2x?6=0的问题转化成求f（x）=ln x+2x?6有零点的问题或者是 y=ln x+2x?6图像与x轴有公共点的问题（如图1）。问题四把方程的解与相应函数零点关系的问题从特殊拓展到了一般，学生通过数学抽象和归纳总结，找到求一般方程的解的方法。同时教师在此过程中渗透转化与划归这一重要数学思想，提升学生数学抽象的核心素养。

对于函数零点的概念的教学，笔者的处理如下：由于学生在学习二次函数时就已经学习过了二次函数零点的概念，这里只是把函数的零点从二次函数推广到了一般的函数，是从特殊到一般的过程，对学生来说很容易理解。所以只需要仿照二次函数零点的概念，概括一般函数的零点概念。

3   探究新知，总结规律——步步深入，层层递进，深入理解函数零点存在定理

问题五：怎样找出函数的零点呢？我们不妨以熟悉的二次函数为例，如图1。

追问1： f（x）在什么区间上有零点？

追问2：这时函数图像与x轴有什么关系？

追问3：如何利用函数f（x）的取值规律来刻画这种

关系？

问题六：观察下列函数图像，如图2，观察函数零点所在的区间，函数零点存在需要的条件有什么？以及这一区间内函数图像与x轴的关系，并探究f（x）的取值刻画这种关系的方法。

学生总结规律：函数零点存在定理。

如果函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）<0。那么，函数 y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的解。

追问1：为什么一定要是一条连续不断的曲线？

追问2：为什么说函数至少有一个零点？

追问3：什么情况下函数只有一个零点？

追问4：将函数 y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点中的（a，b）改成闭区间行不行？

追问5：如果函数存在零点，那么f（a）f（b）一定小于

零吗？

设计意图：既然已经知道了方程的解和函数零点之间的关系，那么怎么找到这个零点呢？找零点的具体方法是下节内容笔者要介绍的二分法，那么函数的零点存在定理就是为用二分法找函数的零点作准备。这个定理是对二次函数零点的一个延伸，也是学习用二分法求解方程的基础和铺垫，这就要求教师在备课的时候，把这个内容放在前后知识的联系中去理解。

函数零点存在定理是本节课的重点也是难点，笔者在讲解这个知识点的时候，从学生熟悉的二次函数入手，通过探究二次函数零点的存在问题，把求函数零点的条件和方法推广到一般函数，概括并总结出函数零点存在定理。这个定理理解起来并不容易，笔者连续用5个追问，使学生对这一定理有清晰透彻的理解，同时提升学生逻辑推理与数学抽象的核心素养。

4   渗透数学文化，解决遗留问题——从高观点下看数学，提及但不深究

问题七：介值定理的概念是什么？

设计意图：函数零点存在定理是介值定理的一种特殊情况。学生将在大学数学中接触介值定理，这里以介绍介值定理数学史的形式在课堂教学中渗透数学文化，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，体现“上通数学，下达课堂”的教学理念，同时也体现了把本节课放在整个数学体系中的深度备课思想。

问题八：你能试着判断方程ln x+2x?6=0的实数解的个数吗？

设计意图：这个问题是对函数零点存在定理的运用和巩固。这个问题是教材中的例题，同时也呼应了笔者在本节开头给学生提出的问题，在这里使学生产生疑问，像这样的方程，它的解究竟怎么求呢？为下一节二分法埋了伏笔，埋下求知的种子。

5   教学反思

本节内容从学生比较熟悉的一元二次方程与相应的二次函数的零点入手，把函数的零点与方程的解的关系推广到一般方程与相应的函数的零点情形。而笔者在初始教学设计中对探究函数零点存在定理的目的有过误解，所以在课堂教学中，笔者用过这样一句话来引导学生探究此定理：“我们怎样判断函数的零点是否存在呢？”后经哈尔滨师范大学樊晓明教授的指导，笔者思考：函数零点存在的两个条件分别是①函数图象在零点附近连续不断;②有f（a）f（b）<0。满足这两个条件，函数零点一定存在。可是如果不满足，如有f（a）f（b）>0，难道就没有零点吗？三角函数 y=sin x， f（1）f（8）>0，在（1，8）内仍然存在零点。所以这个定理的目的是通过找函数的零点来研究方程的解，其主要思想在于“找出”而不在于“判断”。同时，这个定理也进一步突出了函数思想的应用，为下一节用二分法求方程的近似解作了知识上和思想上的准备。

总之，把本节课的重点从判断函数是否有零点转换成找出函数的零点，就把整节课放在了为用二分法解方程打基础的大背景下。因此，以备整章的角度来备一节课，更能准确的把握数学的连续性和整体性思想。

【参考文献】

[1]高敏.基于数学理解 设计概念教学——“函数的零点”教学设计与反思[J].中学数学月刊，2020（11）.

[2]岳艷红.“方程的根与函数的零点”教学设计[J].中学数学教学参考，2019（27）.

【作者简介】

郝纯（1991～），女，满族，黑龙江哈尔滨人，硕士，中学二级教师。研究方向：学科教学（数学）。