艾 森，郭瑜超，聂小华，常 亮

（中国飞机强度研究所计算结构技术与仿真中心，西安 710065）

可变形飞行器通过自适应地改变自身气动布局，以适应复杂多变的飞行任务和飞行环境，因而成为未来先进飞行器发展的主要研究方向之一[1]。该类飞行器若要实现机翼变后掠、前/后缘变弯度等典型变体功能，机翼蒙皮就必须承受足够大的气动载荷和变形量，所以不能简单地使用常规材料或现有的材料来实现[2⁃6]。

为协调可变形机翼蒙皮的变形与承载能力，选用质量轻，抗弯刚度、抗压刚度强的材料或结构成为实现机翼可控变形的有效途径。在这类材料或结构中，蜂窝结构作为典型代表，日益受到世界范围内的广泛关注。蜂窝结构作为可变形柔性蒙皮的支撑体，不仅具有良好的“面内”力学性能，而且可为蒙皮提供足够的“面外”刚度去承载气动载荷，并以较小的驱动力提供较低的“面内”轴向刚度和较高的应变能力。

蜂窝结构的力学性能直接取决于其拓扑构型和蜂窝原材料，不同的拓扑构型会直接导致蜂窝结构具有不同的泊松比效应。零泊松比效应可以限制垂直方向的收缩（或胀形），从而阻止水平方向有效刚度的显著增加[7]。具有零泊松比特性的蜂窝在沿翼展加载时垂直方向不收缩，满足了变形机翼应用的要求。而正泊松比和负泊松比的蜂窝在承受面外空气动力载荷时分别表现出马鞍形曲面和双曲率效应[8⁃9]，限制了它们在变形飞机上的应用。

零泊松比蜂窝结构具有质量轻、力学性能好等优点，被应用在变形机翼蒙皮上。Gibson 和Ash⁃by[10]在考虑蜂窝壁的弯曲变形后，研究了等壁厚蜂窝结构的力学性能，但其理论结果与实验结果存在较大的误差。Gong 等[11]提出了一种新的零泊松比蜂窝结构，通过抑制非变形方向上的泊松效应，实现了沿两个正交方向的变形，避免了变形方向上有效刚度的增加。Huang 等[12]提出了一种将六边形结构与连接薄板组装在一起的面内变形零泊松比蜂窝结构的设计方法。Liu 等[13⁃14]建立了几种不同的零泊松比胞状结构弹性常数的理论模型，并采用有限元法进行验证。Chen[15]从数值和实验两方面研究了零泊松比蜂窝结构的抗弯刚度。

综合现有文献可见，目前研究主要集中在蜂窝结构的等效弹性模量上，而等效弹性模量的研究都基于线弹性小变形假设。如果要将蜂窝结构应用于变形机翼上时，必须考虑机翼变形过程中非线性对蜂窝结构力学性能的影响。为实现蜂窝结构的工程应用，本文针对一种零泊松比蜂窝结构开展力学特性的分析研究。首先建立了零泊松比蜂窝结构等效拉伸模量的理论模型，然后通过数值方法和试验方法对理论模型及数值结果进行相互验证。为考虑蜂窝结构在机翼中的大变形特性，采用数值方法，分别研究了铝蜂窝和钢蜂窝结构在非线性条件下的力学特性，获得的相关结果可为变形机翼蒙皮的选材和结构设计提供重要支撑。

1 线弹性条件下蜂窝力学特性分析

1.1 理论模型

图1 为一种零泊松比蜂窝结构的几何模型。图1 中，蜂窝单元几何形状为水平对称、竖直对称图形，几何形状由单胞斜壁长度l、单胞斜壁与水平线的夹角θ、垂直壁长度h、斜壁及垂直壁的厚度t及整个蜂窝板的高度b来表示。采用量纲为一的处理方式，定义两个量纲为一的参数α、β，α、β分别为垂直壁长度、壁厚与斜壁长度之比，这样可以获得h=2αl、t=βl。

图1 零泊松比蜂窝结构的几何模型Fig.1 Geometric model of the honeycomb structure with zero Poisson’s ratio

关于零泊松比蜂窝构型的等效弹性模量的推导，目前已有较多文献对其进行了详细的描述，如文献[16⁃17]。本文在此基础上，利用能量法推导零泊松比蜂窝的等效弹性模量。

为计算沿a方向的面内拉伸模量，以蜂窝结构的单胞为研究对象，其计算模型如图2（a）所示。在所提出的单胞结构中，显然无法实现沿b方向的大变形，因此本文只考虑沿a方向的面内拉伸。由于蜂窝单胞在垂直和水平方向都具有对称性，可将模型简化为四分之一模型。简化后，模型左端设置固定边界，右端设置集中力F和力矩M，如图2（b）所示。

图2 零泊松比蜂窝面内拉伸模量的计算模型Fig.2 Calculation model of the in⁃plane tensile modu⁃lus of the honeycomb structure with zero Pois⁃son’s ratio

由于竖直蜂窝壁沿a方向的长度远小于斜壁的长度，因此可近似认为变形过程中的位移均由斜壁产生，而忽略竖直蜂窝壁的拉伸变形。同样的假设在文献[18]的研究中也提及。基于此假设，在后文的推导中将只考虑斜壁的弯曲和拉伸变形。

由于拉伸过程中，蜂窝结构承受垂直方向的力为0，根据平衡方程，可以得出力矩M为

悬臂梁在弯矩M(x)和轴向荷载FN(x)作用下的应变能U可以表示为

式中：I为斜壁截面惯性矩，A为斜壁横截面面积，E为材料的杨氏模量。

一般假定逆时针方向的弯矩为正。此时，弯矩为

轴向力为

式中Es为蜂窝基体材料的杨氏模量。

根据卡式第二定理[19]，弹性系统在承受静载荷时，位移δi可以通过应变能U对所施加的力Fi的偏导数来计算。

因此，力的作用点在水平方向产生的位移为

根据均质化理论，蜂窝结构的等效拉伸模量可由等效应力σ1和等效应变ε1推导出

联立式（7～10），可得沿a方向的量纲为一等效拉伸模量为

1.2 数值分析

为验证理论结果，利用商用有限元软件对蜂窝结构进行了数值分析。分析过程中，蜂窝结构选用的材料为铝合金，弹性模量为76 GPa，泊松比为0.33。为研究几何参数的变化对蜂窝结构等效拉伸模量的影响，取蜂窝胞元l=10 mm，b=5 mm，θ从0°～45°变化，增量为5 °，变量α分别取2、2.5、3，变量β分别取0.1、0.15、0.2。

采用二维梁单元计算平面内弹性模量。端面A固支约束，端面B沿x方向施加10 kN 的均布载荷，如图3 所示。

图3 零泊松比蜂窝结构有限元模型Fig.3 Finite element model of the honeycomb struc⁃ture with zero Poisson’s ratio

图4 为不同胞壁厚度下，零泊松比蜂窝结构的量纲为一等效弹性模量E1/Es随θ变化图。由图4获知，E1/Es随着斜壁倾斜角的增大而减小，当E1/Es在θ=0°处达到极大值，此时斜壁处在水平方向，发生纯拉伸。在其他参数保持不变时，E1/Es随着参数β的增加而增加。

图4 不同胞壁厚度蜂窝结构对单胞等效弹性模量的影响Fig.4 Influence of honeycomb structure with different cell wall thickness on unit cell equivalent elastic modulus

图5 为不同垂直壁长度下，零泊松比蜂窝结构的量纲为一等效弹性模量E1/Es随θ变化图。与图4 相似，E1/Es在θ=0°处达到极值，E1/Es随着斜壁倾斜角θ的增加而减小。此外，E1/Es随参数α的增加而减小，这是由于随着α的增加，蜂窝结构的等效面积也相应地增加，使得其等效应力降低。

比较图4 和图5，当参数α从2 变为3 时，E1/Es在一个数量级上波动，而当β从0.1 变为0.2 时，E1/Es则在1～2 个数量级上波动，因此，可认为参数β对E1/Es影响比参数α更大，可为各种参数的平面弹性模量设计提供良好的参考模型。

图5 不同垂直壁长度蜂窝结构对单胞等效弹性模量的影响Fig.5 Influence of honeycomb structure with different vertical wall length on unit cell equivalent elas⁃tic modulus

在Rubert 等[20]的分析模型中，蜂窝结构仅发生纯弯曲，导致其横向刚度在θ=0°处接近无穷大，这与实际情况不符。本文在考虑胞壁轴向变形后，零泊松比胞体结构在θ=0°时的面内拉伸模量不再是无穷。另外，从图4 和图5 可见，零泊松比蜂窝结构量纲为一后的等效弹性模量理论结果与数值计算结果具有高度的一致性，平均相对误差在4%左右，其原因主要是在等效弹性模量的计算忽略了垂直壁的变形。

1.3 试验验证

以l=10、α=2、β=0.1 和θ=45°的蜂窝结构为研究对象，对蜂窝进行面内拉伸试验，测量其等效拉伸模量，并与理论结果、数值计算结果进行对比。常规钣金成型或冲压成型加工的铝合金无法一步成型蜂窝结构，需要借助不同的模具，并利用金属胶将斜壁与垂直壁粘接，此加工过程过于复杂，加工成本大，且无法保证结构精度。因此蜂窝以成本较低的“未来8002”光敏树脂为原材料（弹性模量为2 800 MPa），经3DSL 光固化激光3D 打印机打印而成，不仅能保证加工精度，同时能降低加工成本，节省加工时间。

原材料及蜂窝板的拉伸性能经10 kN 量程In⁃stron 5566 万能试验机测量3～5 次获得。拉伸速度为1 mm/s，分别记录试验过程中相应的力和位移，用于计算零泊松比蜂窝结构的等效拉伸模量。零泊松比蜂窝板的拉伸参照标准ASTM D638⁃08。

图6 为蜂窝结构拉伸试验结果和应力⁃应变曲线，同时给出了弹性段理论计算结果。由拉伸试验结果可见，随着载荷的不断增加，蜂窝结构的V 形斜壁逐渐拉直，最后在直壁与斜壁连接处被拉断。由于直壁与斜壁连接处存在应力集中现象，所以从该处断裂。由弹性段应力⁃应变值可得，蜂窝结构的等效弹性模量为2.35 MPa，而理论结果约为1.96 MPa，相差约0.4 MPa。误差来源可能有两点：（1）使用3DSL 光固化成型工艺制造的样品具有分层沉积特点以及额外的内部孔隙，不满足蜂窝板均匀化和各向同性的假设[21]。（2）在理论模型中，并未考虑垂直胞壁的变形，而拉伸试验中，考虑了垂直胞壁的变形。

图6 蜂窝结构拉伸试验结果和应力-应变曲线Fig.6 Tensile test results and stress⁃strain curves of hon⁃eycomb structure

2 非线性条件下蜂窝力学特性分析

基于线性理论获得的蜂窝结构力学特性一般与试验结果具有较高的吻合度，但若考虑蜂窝结构的几何或材料等非线性效应，则又表现出不同的力学特性。文献[22]建立了蜂窝结构的几何非线性模型，获得了变形量与拉伸载荷的影响关系。但该文献只考虑了几何非线性效应，对材料非线性效应未做考虑。为此，本文针对上述研究的零泊松比蜂窝结构开展考虑材料非线性效应的力学特性分析。

以l=10、α=2，β=0.1 和θ=45°的蜂窝结构为研究对象，分别以某铝合金和某钢为材料（铝和钢的真实应力⁃应变曲线如图7 所示），将材料的真实屈服应力定义为真实塑性应变的函数，其中铝合金的杨氏模量为76 000 MPa，泊松比为0.33，初始屈服应力为311 MPa；钢的杨氏模量为200 000 MPa，泊松比为0.3，初始屈服应力为418 MPa。材料采用理想弹塑性模型，遵循von Mises 准则。

图7 某型铝合金和钢材的真实应力-应变曲线Fig.7 True stress⁃strain curves of a certain type of alu⁃minum alloy and steel

为模拟蜂窝结构一维往复拉伸变形过程，有限元模型选用3×6 个蜂窝胞元的全尺寸模型，如图8所示。经收敛性分析确定数值模拟中单元的最小尺寸为0.5 mm。A表面固支，采用耦合的形式，在B表面上施加位移，随后卸掉B表面上的位移，其余表面则设置为自由边界。

图8 非线性条件下蜂窝结构力学特性计算模型Fig.8 Calculating model of mechanical characteristics of honeycomb structure under nonlinear condi⁃tions

图9 为铝合金基体材料的蜂窝结构（简称为铝蜂窝结构）在产生5%变形时，不同参数蜂窝的残余应变。如图9 所示，当θ＜15°时，无论参数α、β如何变化，铝蜂窝始终保留约4.5%的残余应变。当θ＞15°时，残余应变随着θ的增加逐渐减少，这是由于当蜂窝结构沿着x方向拉伸时，随着载荷的增大，结构的有效夹角会不断减小。由图4 和图5 可知，蜂窝结构的等效横向弹性模量随着夹角的减小而增大。因此，在横向变形的过程中，蜂窝结构的横向弹性模量随着变形的增大而增大，即几何强化效应。此外，蜂窝壁厚的减少，即参数β的减少，也能够导致残余应变的减少（图9（a）），而参数α对残余应变没有影响（图9（b））。实际上，蜂窝在拉伸过程中，垂直方向上的蜂窝壁的变形可以忽略不计，其主要变形来自蜂窝斜壁的变形。以l=10、α=2、β=0.1 和θ=45°的铝蜂窝结构为研究对象，分别对蜂窝结构施加1～15 mm 的一维往复变形，得出图10 所示的应力⁃应变曲线图，图10（b）为图10（a）中红线框处的局部放大图。如图10 所示，随着蜂窝变形程度地增加，蜂窝结构残余应变也相应地增加。如图10（b）所示，铝合金蜂窝结构产生2%的变形时，应力应变曲线出现非弹性段。

图9 铝蜂窝结构在产生5%变形时，不同参数蜂窝结构的残余应变Fig.9 Residual strain of the honeycomb structure with different parameters when the aluminum honey⁃comb structure is deformed by 5%

进一步研究材料非线性对蜂窝结构一维变形行为的影响，选取另一种飞机中常用的材料，钢材为蜂窝结构的基体材料（简称为钢蜂窝结构），保留蜂窝结构的其他参数，即l=10、α=2、β=0.1 和θ=45°。同样对钢蜂窝结构施加1～15 mm 的一维往复变形，得出图11 所示的应力应变曲线，图11（b）为图11（a）中红线框处的局部放大图。与铝蜂窝结构相似，钢蜂窝结构的残余应变随着变形程度的增加而增加。不同的是，钢蜂窝结构的非弹性变形出现在1%变形左右，如图11（b）所示。

根据图10 及图11，可得出铝和钢蜂窝结构施加应变与残余应变的关系，如图12 所示。当铝蜂窝结构变形小于2%，卸载后，蜂窝结构基本上能够恢复为原形。而铝蜂窝结构变形大于2%，铝蜂窝结构由于产生非弹性变形，卸载不能恢复原形，其残余应变与施加应变可看成线性关系。钢蜂窝结构变形大于1%就会出现非弹性变形，其残余应变与施加应变同样可看成线性关系。

图10 不同变形条件下，铝蜂窝结构应力-应变曲线Fig.10 Stress⁃strain curves of aluminum honeycomb structure under different deformation conditions

图11 不同变形条件下，钢蜂窝结构的应力-应变曲线Fig.11 Stress⁃strain curves of steel honeycomb struc⁃ture under different deformation conditions

图12 蜂窝结构应变与残余应变的关系Fig.12 Relationship between the strain of the honey⁃comb structure and the residual strain

此外，钢蜂窝结构的残余应变要大于铝蜂窝结构。实际上蜂窝结构应用于一维柔性蒙皮上，须综合考虑其线性段和非线性段的力学行为。因此，可以通过调节蜂窝结构的几何参数，实现蜂窝结构的驱动力调节。此外，在选择基体材料时，在满足其“面外”刚度以承载气动载荷的前提下，不仅应该选用杨氏模量小的材料，减少其驱动力，还应该选用弹性段大的材料。

3 结 论

本文在考虑胞壁轴向变形及弯曲变形后，采用能量法推导了零泊松比蜂窝结构等效弹性模量的理论模型，并通过数值分析和试验进行了验证。然后分析了几何参数及材料属性对蜂窝结构在一维变形中的非线性行为的影响，得出如下结论：

（1）零泊松比蜂窝结构的等效弹性模量随着斜壁倾斜角θ的增加而减小，随着参数β的增加而增加，随参数α的增加而减小。

（2）零泊松比蜂窝结构应用于一维变形时，其残余应变随着θ的增加逐渐减少，随着参数β的减少而减少，而参数α对残余应变没有影响。

（3）除了几何参数的影响外，材料属性对零泊松比蜂窝结构一维变形的非线性行为的影响也较大，在具体选材时，须做综合考虑。