文/韩晓晓

函数是初中学习的重要内容，在学习函数时，你是不是常常不知道该往哪个方向用力，感觉学得糊里糊涂，心中难免会产生疑惑，如“学这一部分知识有什么用”“学习这些知识最终的目标在哪里”，本文将引导你拥有初中学习函数的强力武器！拥有它们就可以打掉函数这个大“boss”啦！

“单元学习”意识

“单元学习”中的“单元”是指在一个特定主题下相关的学习目标、内容、过程与方法、评价与反思的集合，是有意识对教材中具有“某种内在关联性”的内容进行分析、重组、整合并形成相对完整的单元，实现自我培养和发展数学核心素养为目标的一种学习形式。

初中函数学习的大框架如下（图1）：

图1 初中函数学习框架

最短的路径就是从目标往回倒推，向目标前进的第一步就是理解函数概念，经历探究函数性质的思维过程，感受数形结合解题的美妙。本文重点讲解怎么走好第一步。

函数概念

变量和常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。说明：变量和常量的识别在于数值是否发生变化。

函数概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

理解：函数的本质是两个变量x，y和两个变量之间的对应关系，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，概念的核心就是对应关系，对应关系应抓住“单值对应”，即判断y是否为x的函数，只要看x取确定值时，y是否有唯一确定的值与之对应。如①y=±x，②y2=x，③|y|=x+1，④y=|x|，只有④表示y是x的函数，其它都不是。可举反例否定：如给定x确定值是1，①中y有1和-1 与之对应，②中y有1 和-1 与之对应，③中y有2 和-2 与之对应，都不唯一，而④中y只有1 与之对应，所以是函数关系。理解④中尽管给定x的值是1 或-1 时，y都是1 与之对应，但不影响是函数关系，只要对应值唯一即可。再如下图（图2）：A、B、C 都表示y是x的函数，其中A、C 都是一对一，B 是多对一，而D 不是。

图2 识别对应关系是否是函数关系

判断图象是不是函数关系的方法是：作垂直x轴的直线，从左向右移动看与图象的交点，如果交点为一个则是函数关系，否则不是。如左图（图3）中（1）（2）（3）y是x的函数，（4）不是。

图3 识别图象是否是函数关系

方法总结：“一对一、多对一”都是单值对应，进而两个变量之间是函数关系，不能“一对多”。

函数图象与性质

函数有3 种表示方法：解析式法、列表法、图象法。在初中，直线说的就是一次函数的图象，抛物线说的就是二次函数的图象，双曲线说的就是反比例函数的图象。

函数性质的学习，应着重培养自我观察能力，训练用文字语言、图形语言和符号语言表征数学对象的能力，以及几种语言相互转换、相互补充的能力，体会数形结合是解决函数问题的基本思路。

学习过程：首先确定函数自变量的取值范围，方法如下图（图4），再结合函数解析式和图象研究函数性质，经历由解析式列表到描点连线得函数图象的过程，思维要有序：由式想形到描点画图，注重由数到形的思维过程，反过来也能够由形到数，数入微，形直观，数形结合。

图4 确定函数自变量的取值范围

例如：探究函数y=|x-1|的图象与性质，探究过程如下：

1.判断这个函数的自变量x的取值范围是全体实数；

2.根据解析式列表，补全下表（表1）。

表1 解析式列表

思维指导：x，y满足y=|x-1|，已知其中一个变量的值就可以求另一个变量。

方法：求值就代入——把已知代入未知或把未知代入已知。这在某种程度上也是代数最基本的思维方式是“把未知数设为x，然后寻找未知数与已知数之间的关系和规则”，不要把焦点放在“未知数”上，而应该放在“找关系”上。

3.①对函数y=|x-1|，当x≤1 时，y=-x+1；当x＞1 时，y=_____。

思维指导：通过去绝对值得到的解析式，可以明确该函数实质是分段函数

②在平面直角坐标系xOy中画出函数y=|x-1|的图象（图5）：

图5 函数y=|x-1|的图象

有序思维：由解析式得有序数对（x，y），确定平面直角坐标系中的点，描点连线画图，反过来，图象上点的横纵坐标也应该满足解析式。

4.判断点M（-4，6）在函数y=|x-1|图象上吗？

代数角度：点M（-4，6）的横纵坐标是否适合y=|x-1|？不适合所以不在。

几何角度：把点M（-4，6）描出来看在图象上吗？观察发现不在。

5.当y=3 时，x=_____。

代数角度：当y=3 时，即|x-1|=3，方向1 是x-1=3 或x-1=-3，所以x=4 或x=-2；方向2 是绝对值刻画距离，在数轴上到1 的距离是3 的点表示的数是4 或2。

几何角度：如图（图6），画出直线y=3，与函数y=|x-1|图象交点的横坐标就是|x-1|=3 的解。

图6 利用函数思想解方程|x-1|=3

通过函数观点看方程，能知道|x-1|=3有两个解，进一步|x-1|=0 就只有一个解，|x-1|=-2 就没有解了。

方法迁移：或许你有时不太能理解为什么一元二次方程解可能有两个解、有一个解或没有解，用二次函数的图象解释其中的理由，是不是就相对容易理解一些？这也是借助函数观点看方程的好处，是复习一元二次方程的好方法。如下图（图7），x2-2x-3=-4 的解，用函数观点看解只有一个，x2-2x-3=1 的解有两个，x2-2x-3=-6.5 无解。

图7 利用函数思想理解二次函数解的个数

6.若点A（-1，y1）和B（x2，y2）都在函数y=|x-1|的图象 上，且y2＞y1，结合函数图象，直接写出x2的取值范围。

代数角度：点A（-1，y1）在y=|x-1|图象上，则求出y1=2，所以|x2-1|＞2，再类似上题去解。

几何角度：求出A（-1，2），把符号语言y2＞y1转化成图形语言如下（图8）：x2＜-1 或x2＞3。

图8 利用函数思想解不等式|x-1|＞2

方法总结：数形结合，求范围找临界。应用如下：

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点（1，2）。

（1）求这个一次函数的解析式。

（2）当x＞1 时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围。

分析：解题时先想清楚问什么和怎么用条件？

（1）问的是求解析式，求的是y=kx+b（k≠0）中k，b的值，求值要代入；条件是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点（1，2），平移要想到斜率k保持不变，故先求出k=1，y=x+b，又由图象经过点（1，2）则点的横纵坐标适合y=x+b得b=1，所以解析式是y=x+1。

（2）问直接写出m的取值范围，几何方法是“求范围找临界”；代数方法为找关系列式子。条件是当x＞1 时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=kx+b的值，这一段文字语言翻译成符号语言就是当x＞1 时，总有mx＞x+1，则（m-1）x＞1 在x＞1 时恒成立，接下来分类讨论m-1 ＜0，m-1=0，m-1 ＞0，后边计算省略。

从几何方法来看，即把上述文字语言翻译成图形语言，就是当x＞1 时，函数y=mx（m≠0）的图象总在函数y=kx+b图象的上方，而对于y=mx（m≠0）有一个不变量是定过原点（0，0），再次体会“求范围找临界”，所以直接得出m≥2，注意能不能取临界值，因为是x＞1，所以能取到（图9）。

图9 数形结合解决含参数函数中参数的取值范围（1）

方法应用：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数的图象向下平移1 个单位长度得到。

（1）求这个一次函数的解析式。

（2）当x＞-2 时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围。

分析：（1）易得到解析式是。

（2）代数方法省略，几何方法画图如下（图10）。

图10 数形结合解决含参数函数中参数的取值范围（2）

初中数学数与代数主要内容是“式子、方程、函数”，式子特征是字母、方程特征是未知数、函数特征是自变量，无论是字母、未知数还是自变量，它们的共同点是“用字母表示数”的数学抽象在不同模型（列算式、列方程、列函数关系式）的应用，体现数式通性，培养函数思维。同学们，用函数思维解决方程不等式会别有一番天地呦！