磁悬浮冷压缩机转子的动力学分析和试验研究
2021-09-14张舒月李青伍继浩
张舒月 李青 伍继浩
摘 要：磁悬浮冷压缩机是大型超流氦制冷系统的关键部件. 针对某磁悬浮冷压缩机转子系统，通过构建基于铁木辛柯梁理论的转子有限元模型，以及将电控硬件的作用定义为等效刚度和等效阻尼，组建了闭环系统中磁悬浮转子的完整模型，并完成了临界转速和不平衡响应的仿真计算. 仿真和实验测得冷压缩机转子在相同PID控制器作用下的刚体临界转速分别为27 Hz和28 Hz，前两阶弯曲临界转速的百分比误差均不超过2%. 控制器的关键参数在一定范围内变化时，通过不平衡响应仿真计算和50 000 rpm范围内的升速实验这两种方法得到的转子动力学特性较为相符. 这验证了所提出的建模和动力学计算方法的可靠性和准确性，研究成果对冷压缩机转子的结构设计以及控制器调试具有重要参考意义.
关键词：有限元方法;主动式磁悬浮轴承;PID控制;不平衡响应;临界转速
中图分类号：TH452 文献标志码：A
Dynamic Analysis and Experiments on Cold Compressor
Research of Magnetic Suspension Rotor
ZHANG Shuyue LI Qing WU Jihao
（1. State Key Laboratory of Technologies in Space Cryogenic Propellants，Technical Institute
of Physics and Chemistry，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China;
2. College of Energy and Power Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China）
Abstract：Magnetic suspension cold compressor is one of the crucial components of the large superfluid helium refrigeration system. For the rotor system of magnetic suspension cold compressor，by constructing a finite element rotor model based on Timoshenko beam theory and defining the role of electronic control hardware as equivalent stiffness and equivalent damping，this study builds a completed magnetic suspension rotor model in the closed-loop system and completes the simulation calculation of critical speed and unbalanced response. The rigid body modal frequencies of the cold compressor rotor with the same PID controller，obtained by simulation and experiment，are 27 Hz and 28 Hz，respectively;and the percentage error of the first two critical bending modal frequencies does not exceed 2%. The rotor dynamic characteristics obtained respectively through unbalanced response simulation and the speed-up experiment within the rated speed range of 50 000 rpm，respectively，are consistent. It shows the modeling and dynamic calculation methods proposed in this paper are reasonable and reliable，which have essential reference significance for the cold compressor rotors structural design and controller commissioning.
Key words：finite element method;active magnetic bearing;PID control;unbalanced response;critical speed
随着超流氦在高能物理、核聚變、超导电力等领域的广泛应用，大型超流氦低温制冷系统已成为不可或缺的基础支撑设施. 对于2 K温区的大型氦低温系统，目前国际上普遍通过采用串联多级离心式冷压缩机在低温负压下对过冷槽减压降温的方法来获得1.8 K ～ 2 K的超流氦[1]. 冷压缩机作为超流氦系统核心部件，需要工作在负压低温环境下，工作转速达数万转每分钟. 苛刻的运行条件对转子的支撑设备提出了较高的要求. 常规的油脂润滑轴承在高转速下存在摩擦产热和寿命短等问题;气体轴承的转速较高，但由于压缩机的叶轮端需要工作在2 kPa的低压环境，采用气体轴承势必会对下端低温轴的密封提出更加严格的要求.
主动式磁悬浮轴承（Active Magnetic Bearing，AMB）利用电磁力将转子无摩擦无润滑地悬浮于空间，具有无磨损、高转速、寿命长等普适优点[2]. 对于立式离心式压缩机而言，还可以采用主动控制的方式精确定位转子的轴向位置，改变叶顶间隙，控制进出压缩机的质量流率，从而达到预防压缩机喘振的目的[3]. 主动式磁悬浮轴承被认为是当前超流氦制冷系统中冷压缩机转子支撑部件的最佳选择[4].
根据冷压缩机的应用需求，建立一套准确和完善的磁悬浮转子动力学特性的计算方法对于前期磁轴承和转子的结构设计，以及后期控制参数的实际调试都具有重要意义. 转子的研究历史较长，目前已有一些商业软件，如ANSYS、SAMCEF等. 采用有限元方法分析其动力学特性，这也是部分学者研究磁悬浮转子时常采用的方法[5-7]. 但这种方法忽略了磁悬浮轴承系统的阻尼作用，并将动态刚度简化为定刚度，只适合对临界转速和不平衡响应的估算. Mushi等[8]构建了考虑传感器和功率放大器在内的转子状态空间模型，但该模型没有考虑反馈控制器的作用. 王忠博等[9]考虑了包含控制器在内的电控系统作用，但转子被简化为仅有一个自由度的刚性质点，难以保证这种动力学特性的计算方法对转速较高或形状细长的磁悬浮转子也同样适用. G Du[10]等建立了四自由度转子模型，采用数值计算方法分析系统刚度和阻尼对磁悬浮转子不平衡振动的影响，但未进行实验证实.
赵鹏[11]采用传递矩阵法构建自由转子模型，研究了刚度对磁悬浮转子临界转速的影响，但系统的控制作用被等效为固定刚度，且该分析仅限于理论仿真. 万金贵等[12]构建了磁悬浮转子的完整模型，提出一种临界转速理论计算方法，并通过转子轴心轨迹的发散程度对临界转速进行估算，和理论结果进行比较，但是文中所建立的转子模型基于传递矩阵法，模型在表述上不够直观，不利于考虑外界激励，且没有给出转子不平衡响应的理论计算方法和对应的实验验证.
上述文献能对磁悬浮转子的动力学特性进行简单计算和分析，但由于没有考虑控制器的作用，或将转子视为简单模型等，因此对磁轴承支撑的转子动力学行为的模拟在一定程度上可能与真实情况存在偏差. Schweitzer和Maslen构建了转子有限元模型，并提出通过采用求解从不平衡干扰到转子位移的传递函数的方式获得转子的不平衡响应特性[2]. 本文沿用传统转子频响特性的求解方法，理解和操作上较为方便，并对控制参数对转子动力学特性的影响规律进行了详细探讨;最后在磁悬浮冷压缩机原型实验台上对本文提出的动力学分析方法予以实验验证，实验结果和仿真结果较为符合.
1 磁悬浮转子系统的动力学建模
超流氦制冷系统中某级压缩机如图1所示. 压缩机的额定转速为50 000 rpm，其转子由轴向磁悬浮轴承和两个径向磁轴承支撑，两个电感式位移传感器分布于径向磁轴承外侧，永磁同步电机置于中间位置，用以驱动转子高速旋转.
1.1 转子的有限元模型
磁悬浮转子重4.85 kg，中间部位的直径为59.8 mm，实物如图2所示. 转子由内部轴芯以及推力盘、径向磁軸承和传感器的转子轴套、叶轮、压紧螺帽等附件组成.
在轴的各种模型理论[13]中，铁木辛柯梁考虑了转动惯量和剪切变形，适用于分析轴的横向振动[14]，本文基于该理论基础为转子的轴芯建立了弹性梁有限元模型. 磁悬浮转子轴芯所用材料为40 Cr，弹性模量为2.11e11 Pa. 永磁电机套筒以过盈的形式装配在轴芯的中间位置，可以和轴芯看作一个整体. 但电机套筒所用材料为钐钴永磁体，因此在建模时将其弹性模量设定为轴芯材料的一半，为1.08e11 Pa. 图3是冷压缩机转子的有限元模型，其中，中灰色和浅灰色分别代表轴芯和电机套筒.
电机套筒两端主要是传感器和径向磁轴承轴套，由0.35 mm厚的硅钢片压制而成，这部分对转子的横向弯曲影响较小，因此可忽略刚度，将其视为刚性圆盘单元. 压紧螺帽、叶轮和轴向推力盘也进行了同样处理. 图3中的深灰色部分表示刚性圆盘单元. 另外，图中弹簧表示两径向磁轴承的位置，三角形表示传感器位置. 为检测和校正转子的残余不平衡质量，转子轴套两端沿半径为25 mm的周向各设计一圈螺纹孔，见图中“U1”和“U2”标记处. 经测试，转子在这两处的残余不平衡量分别为1.06 g·mm和0.82 g·mm，相角为171°.
在为转子进行节点划分时，磁轴承、传感器、螺纹孔等关键位置均被设置为主节点. 为保证计算的快速收敛，在主节点之间划分数个子节点，使相邻节点之间的距离尽可能相等. 最后得到有64个节点的转子有限元模型，其中，径向磁轴承、位移传感器和螺纹孔位置分别位于节点21和43，17和47，以及15和48.
1.2 主动式电磁力
2 磁悬浮转子的动力学计算
针对公式（14）所示的转子动力学微分方程组，一般采用模态叠加或者数值分析方法分析转子的动力学特性. 模态叠加法通过解耦处理简化了原始运动方程，但该方法忽略了系统阻尼的影响[16]. 数值分析法通过离散时间项得到上述方程的时域近似解，对少自由度模型的求解比较有效，但对高阶次有限元转子模型而言费时费力[10]. 出于方法的普适性，这里对上述方程进行变换，然后通过求解特征值和特征向量的形式得到临界频率和模态振型[15]，通过求解方程的稳态解获知转子的振动情况.
2.1 特征值和特征向量
2.2 质量不平衡响应
3 磁悬浮转子动力学特性仿真
磁悬浮转子的动力学特性不仅取决于转子和磁轴承结构，还和控制器有关. 根据本文提出的建模方法和上述动力学计算公式，本节将解释PID参数的选择依据，并对该控制参数下磁悬浮转子的临界转速和不平衡响应进行仿真计算.
3.1 控制器参数的取值范围
对于结构已经确定的磁悬浮转子，可以通过改变控制器参数主动调整系统的刚度和阻尼，以实现磁悬浮转子的稳定及良好的动态性能.
3.2 Kp和Kd对转子动力学特性的影响
由图6可知，在0.27 ～ 0.8范围内，随Kp的增加，刚体临界转速从约20 Hz增加到53 Hz附近，增加的速度逐渐平缓. 这表明通过增减Kp可改变刚体临界转速，从而有可能避免转子在升速时的大幅振动，使得整个过程的运行更加平稳. 此外，由上图还可以获知，随Kp增加，临界转速和Kd由负相关逐渐变为正相关. 但整体而言，相比Kp，Kd对临界转速影响较小.
由图7知，在0.000 2 ～ 0.001 1范围内，随Kd的增加，刚体临界转速基本保持在30 Hz，超过0.001 1，临界转速对Kd异常敏感. 这说明当处于合适范围内，临界转速几乎不受Kd的影响，计算系统刚度时可对控制器的微分作用进行忽略处理;但当Kd较大时，即使微小变化，也会造成临界转速的急剧改变，转子工作于这种状态是十分危险的.
图8和图9分别是某传感器观测到的位移振动峰值随Kp和Kd的变化情况. 由图8可知，随Kp的增加，转子的位移振动峰值呈现先增大后减小的趋势，这一过程的极值随Kd的增加而减小. 图9中位移振动峰值的变化趋势和图8类似，即随Kd的增加先增大后减小，但这一极值随Kd的增加而增大. 这表明在极小的Kd作用下，Kp的增加反而可能会加剧转子运转过程中的位移振动.
磁悬浮转子辅助轴承的气隙为150 μm，综合考虑转子的位移振动情况，一组合适的Kp和Kd可选择为0.35和0.000 60. 控制器的积分项用于消除转子的静态误差，本文选取为Kp的10倍，即Ki= 3.5作为控制器的积分增益. 为方便对比，接下来的仿真计算和实验测试均采用上述控制器参数值.
3.3 临界转速
通过求解公式（16）中特征矩阵A的特征值λk可获知转子的特征频率信息. 计算不同转速下的特征频率ωk，连接同一模态下的特征频率，连线和转速的交点为转子的临界转速，如图10所示，即上述PID控制参数作用下的坎贝尔图.
由图10知，磁悬浮转子的弯曲涡动频率随转速线性变化. 但和自由转子不同的是，刚体临界转速在低转速下呈现非线性变化. 这是由于在控制器作用下，闭环系统中转子的刚度并非固定值，而是随着转速发生变化（见公式（9）），且在转速小于约2 000 rpm时，这种变化比较明显.
在实际运转过程中，磁悬浮转子只有前向涡动模态被激发[19]. 由图10知，转子的前两阶前向刚体临界转速分别在25和40 Hz附近. 前两阶前向弯曲临界轉速分别为2 502 Hz和4 821 Hz，如果不考虑陀螺效应，前两阶弯曲临界转速分别为2 238 Hz和4 280 Hz. 冷压缩机的最大额定转速为833 Hz，距离第一阶弯曲临界转速有较大安全裕度，远满足标准要求.
3.4 不平衡响应
根据公式（19）求得两传感器处转子的位移振动情况，如图11所示. 在上述PID控制器参数下，转子在27 Hz附近振动较大，上下传感器观测到的位移振动峰值分别为89 μm和55 μm，越过振动峰值，转子运行较为平稳. 与图10所示坎贝尔图中的两个刚体模态不同，不平衡响应仿真只观测到一个振动峰值，这是由于平动模态频率和锥动模态频率过于接近.
4 实 验
4.1 模态试验
4.1.1 闭环系统的辨识
为验证本文所建立的磁悬浮转子系统数学模型的准确性，采用安捷伦的动态信号分析仪35670A对闭环系统进行正弦扫频测试. 正弦信号从功率放大器的前端（图5中标识为Tin处）输入，并对从被控对象输入端（T1）到转子位移输出端（T2）的信号进行分析，得到闭环系统中磁悬浮转子模型第一通道的波特图，如图12黑色虚线所示.
图中灰色实线表示通过仿真计算，得到的对应输入端到对应输出端的传递函数波特图. 由图可知，在0 ～ 2 000 Hz范围内，经仿真计算和模态辨识实验得到的模型较为匹配，两种方法获得的刚体临界转速分别为27和28 Hz. 但当频率较大时难以通过这种方法辨识出磁悬浮转子模型及其弯曲模态.
4.1.2 力锤激振实验
磁悬浮转子的刚体临界转速主要受控制器影响，而弯曲临界转速主要取决于磁悬浮转子的机械结构[2]，和控制系统提供的刚度几乎没有关系，因此采用锤击法测量得到的自由转子的高阶临界转速可近似看成闭环系统中磁悬浮转子的临界转速. 将转子等分为17个力锤敲击点，其中加速度传感器固定于节点5. 为保证力锤激励带宽，选取较硬的铝质锤头进行锤击. 图13中前两阶弯曲临界转速分别为2280 Hz和4 199 Hz，而仿真计算结果为2 238 Hz和4 280Hz，两者分别相差1.8%和1.9%.
4.2 动力学特性测试实验
4.2.1 实验平台
磁悬浮冷压缩机实验台如图14所示，它主要由磁悬浮冷压缩机本体、电控硬件系统、采集和监控系统、控制器开发系统等组成. 为测试转子升速过程中的运行情况，设置转速的加速度为500 rpm/s，转子从静止悬浮匀速缓慢升速到50 000 rpm，传感器将测得的位移信号传送至LabVIEW监控程序.
4.2.2 升速实验
采用和图11相同的PID控制参数，检测转子升速时的位移信号并借助MATLAB进行分析，得到位移随转速变化的曲线图，如图15所示. 由图可知，实际观测到的转子的刚体临界转速为28 Hz，此时上下传感器处的位移振动最大，为93/70 μm. 和仿真计算的不平衡响应结果（图11）相比，刚体临界转速相差较小，为1 Hz. 实验和仿真结果显示振动峰值相差4/15 μm，越过临界转速，转子分别稳定在21 μm和16 μm附近.
4.2.3 Kp和Kd对转子振动的影响
基于前文的仿真结果，当Kp∈（0.35，0.50）且Kd∈（0.000 45，0.000 65）时，转子振动幅度小于安全气隙. 在该范围内分别选取五组Kp和五组Kd，并对转子升速时的振动情况进行测试.
以上傳感器观测到的位移为例，保持微分增益Kd= 0.000 60不变，Kp分别取0.30，0.35，0.40，0.45， 0.50，实验测得转子升速时的位移振动情况，如图16所示. 可知，随Kp的增加，转子的刚体临界转速从25 Hz逐渐增加到约50 Hz，振动峰值随Kp的增加从178 μm逐渐减小到约35 μm. 但Kp较大时，如为0.50时，会造成转子在高转速运转时的大幅振动，这可能是由于系统刚度和阻尼会随转速的增加分别增大和减小造成的.
图17是保持比例增益Kp = 0.35，Kd分别取4.5e-4，5.0e-4，5.5e-4，6.0e-4和6.5e-4时，转子的位移振动情况. 可见，转子的刚体临界转速对Kd的变化不敏感，基本维持在30 Hz. 但振动峰值随Kd的增加而明显降低，从205 μm降低至约75 μm. 由图16和图17明显看到，越过刚性模态，转子运行稳定，位移振动基本不随Kp和Kd发生改变，保持在21 μm附近.
通过图6-11以及图12-17的对比分析可以发现，仿真计算和实验测试得到的转子动力学特性的变化情况较为符合，具体表现为：1）相同控制器参数下转子的位移振动情况随转速的变化趋势一致;2）当Kd = 0.000 60，Kp∈（0.35，0.50），随着Kp的增加，仿真结果和实验结果显示刚体临界转速分别从约20 Hz增加到40 Hz，以及从23 Hz增加到53 Hz附近;3）当Kp=0.35，Kd∈（0.000 45，0.000 65），仿真和实验结果均显示刚体临界转速受Kd的影响较小，基本保持在30 Hz附近;4）当Kd= 0.000 60，Kp∈（0.35，0.50），随Kp的增加，仿真结果表明转子的振动峰值从175 μm减小到55 μm附近，实验显示从约178 μm减小到35 μm;5）当Kp=0.35，Kd∈（0.000 45， 0.000 65），随着Kd的增加，仿真结果和实验结果分别显示转子的振动峰值从235 μm减小到约75 μm，以及从205 μm减小到约75 μm;6）越过临界转速，转子稳定运行时的振动幅值几乎不受Kp和Kd的影响，仿真结果显示转子稳定在14 μm，而实验测试的这一数值较大，为21 μm，这可能是由于转子的不平衡质量的测量值小于其真实值.
5 结 论
本文将电控硬件的刚度和阻尼作用加入转子有限元模型，得到闭环系统中磁悬浮转子的完整模型及其临界转速和不平衡响应的计算方法. 基于该方法，研究了控制器关键参数对磁悬浮转子动力学特性的影响特点. 通过仿真计算选择出合适的控制参数，并应用于磁悬浮冷压缩机实验台，对比实验结果和仿真结果，得到如下结论：
1）通过闭环系统正弦扫频实验和力锤激振实验测得的转子刚体临界转速和弯曲临界转速，和仿真结果相比，分别相差1 Hz和2%.
2）当控制器参数在一定范围内变化时，仿真和实验结果显示：转子刚体临界转速随比例增益单调增加，但几乎不受微分增益的影响;转子升速过程中的振动峰值随比例增益单调递减，且随微分增益单调递减.
3）相同的控制器参数下，通过仿真计算和升速实验得到的转子的刚体临界转速和振动峰值较为接近，位移振动随转速的变化趋势一致.
4）实验和仿真结果的符合性较好说明了本文所提出的磁悬浮转子的建模方法和动力学分析方法的可靠性. 该工作为大型超流氦低温制冷设备中冷压缩机的实际调试和应用奠定了重要的理论和实践基础. 然而，本文的研究对象是第三级压缩机，且文中实验是将转子端部裸露于空气中，因此叶轮处的周向力可以假设为零. 实际各级冷压缩机在工况、尺寸等方面各有不同，尤其第一级冷压缩机的入口端为2K超流氦槽池，易受气流流动不稳定的影响，此时实际工况下磁悬浮转子的动力学特性有待进一步深入研究.
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