汤向明 金 蛟

(1.泉州市教育科学研究所 362000；2. 北京师范大学统计学院 100875)

现实生活中，很多变量间存在着一定的关系,描述变量间关系的线性回归模型有着广泛的应用.现行高中教材中包含有相关和线性回归的内容,本文以案例教学的方式分析回归的内涵并对关键问题进行探究,供高中教师教学参考.

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案例1 身高和臂展

根据直观经验,我们普遍认识到,人的身高和臂展相近.我们收集1024名同学的身高和臂展数据(不同群体身高和臂展数据特点不尽相同,本文采用模拟数据,各授课教师可收集教学班级的数据,提升学生参与度和授课效果),部分数据如表1所示.

表1

从数据中能看出身高和臂展确实非常接近.但我们也会遇到如下情形:某篮球运动员身高226cm,但臂展只有220cm.又比如《三国演义》小说中描写的人物刘备,身高7尺5寸,双耳垂肩,双臂过膝. 身高7尺5寸相当于现在的173cm,刘备的臂展相对于他的身高远远偏长.

如果身高、臂展数据的散点图中所有点(为了直观,取20点展示)在一条线上(图1左),这就是数学上确定的函数关系.而实际收集数据(为了直观,取20名同学)绘制的散点图如图1右,这些点不严格在线上,而是在线附近,这种变量间有影响,又没达到确定程度的关系就是统计上的相关关系.

图1

相关关系的度量方式有多种,英国生物学家、统计学家Pearson定义了线性相关系数:

模拟具有不同相关系数的数据绘制散点图如图2：

图2

由相关系数定义和图2可见……