张超

中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2021）-2-169

认知心理学认为：学生学习的过程是一个把教材知识结构转化为自己认知结构的过程。”高效的解题练习有助于学生认知结构的过程。学生学习能力的提升，大多通过数学解题训练获得，如何在课堂中高效的开展探究性学习，怎样能够让学生通过对解题的反思获得“关键能力”，引发了笔者的思考，现将自己教学过程中的一些想法，供给大家指正。

问题呈现 如图1：△ABC中，AD是角平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.

对于探究线段和差关系，解题思路往往是通过“截长补短”构造三角形全等，利用图形全等进行线段的转化。

解法1（截长）图2中，在AC边截取线段AE=AB，连接DE，根据AE=AB，AD是∠BAE的角平分线，AD公共边三个条件，判定△ABD≌△AED。从而AB转化为AE，再由∠B=∠AED=2∠C，得到ED=EC=BD，即AC=AB+BD。

解法2（补短）在图3中，延长AB至AE，使得AE=AC，连接DE，根据AE=AC，AD是∠BAE的角平分线，AD公共边三个条件，判定△AED≌△ACD。从而把AC转化成AE，再由∠B=2∠C，∠C=∠E得到BD=BE，即AC=AB+BD。

问题1中，解法1和2从“截长”，“补短”两个途径给出了证明，追求了解决几何问题方法的多样性。但对于本题的探究，如果学生的思维成面只仅仅停留在利用“截长”和“补短”的方法来构造图形全等，还远远不够。不妨，我们再对问题1的变式展开探究。

变式：如图4，△ABC中，AD是∠CAB的角平分线，AD=BD，AB=2AC.求证：△ACB是直角三角形.

问题分析：立足题意证明目标是△ACB是直角三角形，根据角平分线与两对线段之间的关系，容易通过图形中的角度关系得到关联.在图4中，易得∠CAD=∠DAB=∠ABD。如何利用这三个角建立与∠C的联系，成为了解决问题最大的障碍。

由于此时的目标是角度，学生关联问题的思维很难与前面“截长”或“补短”建立联系。……