韩慧

摘  要：本节课在“互联网 +”教学条件下，通过“茶水最佳饮用时间”的问题背景，呈现了师生共同完成数学建模活动选题、开题、做题、结题的全过程. 在信息技术支持下，学生通过实践操作、任务探究建立函数模型解决实际问题，感知数学建模的一般方法和数学思想，提升了应用意识和创新能力，促进了数学学科核心素养的形成和发展.

关键词：数学建模;信息技术;教学实践

一、教学内容解析

“数学建模活动——茶水最佳饮用时间”是人教A版《普通高中教科书·数学（必修）》第一册“建立函数模型解决实际问题”的内容. 在高中阶段，学生将经历从数学知识的直接应用与渗透到自主完成数学建模活动的过程. 本节课是在学生学习了指数函数、对数函数和幂函数的基础上，通过建立函数模型解决实际问题，师生共同完成选题、开题、做题、结题全过程. 通过本节课的学习，使学生进一步加深对函数模型的理解和认识，熟悉数学建模活动的一般流程，为后续研究其他函数模型的应用及自主完成数学建模活动全过程提供数学思想和方法指导.

通过数学建模活动的开展，学生能有意识地用数学语言表达世界，发现问题和提出问题，感悟数学与现实之间的关联;学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践经验，认识数学模型在现实生活中的作用，提升实践能力、增强创新意识.

二、教学目标设置

本节课教学目标设置如下.

（1）能对现实问题进行数学抽象，准确收集数据，正确分析数据，建立适当的函数模型，利用信息技术工具求解模型、检验模型、优化模型，最终达到解决实际问题的目的.

（2）经历数学建模活动的全过程，感知建立函数模型解决实际问题的一般方法，体会现实世界与数学知识之间的紧密联系，在探究的过程中提升应用意识和创新能力.

本节课教学重点：函数模型的建立、检验与优化.

三、学生学情分析

本节课的授课对象为山东省青岛第二中学分校创新学院的学生，他们思维活跃，能熟练运用信息技术工具辅助学习，并且有丰富的探究活动经验.

1. 学生已有的认知基础

“数学建模活动——茶水最佳饮用时间”课与学生的生活密切相关，便于学生获取和了解相关的背景知识. 学生已经学习了指数函数、对数函数和幂函数的相关知识，掌握了函数模型应用的基本方法与步骤，具备了从图象直观上获得结论和根据数量关系进行逻辑推理的能力，这些为本节课建立函数模型解决实际问题做了铺垫.

2. 达成教学目标所需具备的认知基础

数学建模活动对学生综合能力要求较高，包括将实际问题转化为数学问题的能力，挖掘信息、收集数据、分析数据，建立、求解、检验、优化、应用模型等能力.

3.“已有的基础”与“需要的基础”之间的差异

如何检验和优化数学模型，对学生来说比较困难.

4. 教学难点及其突破策略

教学难点：函数模型的检验和优化.

突破策略：通过教师的启发引导、学生小组的团队合作完成核心任务探究. 同时，发挥信息技术的辅助功能.

四、教学策略分析

1. 教学策略

（1）依据数学建模活动的内容和要求组织教学材料. 通过精心设计的問题，引导学生利用已有函数知识在实际问题中构建具体的函数模型开展建模活动，归纳出数学建模活动的一般方法，帮助学生形成完整的认知结构.

（2）依据学情组织教学活动. 根据学生的思维特点和认知基础，对重、难点内容——函数模型的建立、检验与优化采用核心任务探究的教学方式，在每个核心任务下设置子任务，通过独立思考、小组合作、展示交流、质疑追问、互评反思等师生活动来强化重点、突破难点. 学生在尝试和探索中掌握数学建模活动的数学思想和一般方法.

（3）突出数学思想方法的提炼和渗透. 通过将抽象的知识具体化、有序化、开放化，在引导学生主动建构数学知识的同时，保持积极有效的思维活动，培养学生的批判性思维、开放性视野，提升学生分析问题和解决问题的能力、交流合作能力、数学语言表达能力，发展学生的数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理和直观想象素养.

（4）运用“互联网 + ”教学提高效率. 学生借助数学软件建模，体会利用信息技术解决程序化问题的优越性，在尝试和探索中掌握方法、体会思想、形成技能;教师借助信息技术工具的统计功能实时掌握学情，为不同基础的学生提供适当的帮助，及时反馈学生在学习过程中出现的问题，提高教学效率.

2. 教学资源

平板电脑、GeoGebra软件、MATLAB软件、投影仪、计算机、数据采集器、温度传感器、多媒体课件.

五、教学过程设计

本次数学建模活动分为选题、开题、做题、结题四个部分，如图1所示. 此活动并非一个课时能够完成，因此课前留给学生3天时间完成了选题、开题工作，课上以做题为主，即完成数学建模活动的主要过程，课后学生自主完成结题工作.

1. 选题、开题

课前设置自主学习任务单帮助学生选题、开题，让学生通过调查研究、实验操作、复习回顾，为课堂上的做题做好准备. 自主学习任务单包含以下三项任务.

任务1：调查研究影响茶水口感的因素有哪些，主要因素是什么.

学生活动：分小组查阅资料、现场咨询，由班长汇总、整理，在课上展示.

【设计意图】培养学生通过查阅资料、现场咨询等渠道获取信息的能力.

任务2：以小组为单位，收集茶水温度随时间变化的数据.

要求：测量时间间隔为1分钟.

提供工具：计算机、数据采集器、温度传感器、室温计、绿茶、陶瓷茶具、山泉水、电热水壶.

学生活动：各小组分别完成实验，收集数据，由数据处理员汇总.

【设计意图】让每位学生亲身经历通过实验收集数据的过程.

任务3：回顾已学函数的定义、图象和性质，形成思维导图.

【设计意图】学生自主梳理函数知识结构，为后续建立函数模型解决实际问题做准备.

2. 做题

（1）选题、开题，展示汇报.

师生活动：中国茶文化源远流长，并且与学生实际生活密切相关. 课上先由“中国·茶”视频引入学生所选课题，然后由班长汇报相关背景知识的调研成果，得出影响茶水口感的最主要因素是茶叶类型和水的温度. 随之引出问题：青岛盛产绿茶，以此作为研究对象，调查表明，用85 ℃的水泡制茶叶，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，口感最佳. 刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感呢？学生从这样一个实际问题中抽象出数学问题——建立茶水温度随时间变化的函数模型，进而自主设计出合理可行的研究方案.

【设计意图】渗透中国茶文化，让学生感受数学来源于生活，又服务于生活，激发学生的学习兴趣. 活动帮助学生从实际问题中抽象出数学本质，明确研究的内容，培养学生用数学眼光观察世界的能力和数学抽象能力.

学生活动：按照研究方案，课前学生根据模型假设在25 ℃的室温下用85 ℃的水泡制绿茶，利用计算机、数据采集器、温度传感器等设备，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据，课堂上由数据处理员展示汇报.

【设计意图】收集数据是数学建模的必备能力，学生通过实验获得数据，这一过程对于提升学生的数据分析能力有很大帮助.

有了课前的充分准备，下面学生正式开始做题.

（2）建立模型，分析误差（重点）.

师生活动：从大量的实验数据中随机选取一组（如下表）作为研究对象. 以时间为横轴、水温为纵轴，利用GeoGebra软件作出散点图（如图2）进行直观描述，进而引导学生用更加准确的数学语言，即函数解析式进行刻画.

【设计意图】数据表格—几何直观—代数表示，这一由具体到抽象的过程帮助学生提升了直观想象能力和数据分析能力.

核心任务探究1：小组合作，每组选择一种函数，要求如下. ① 利用GeoGebra软件作出散点图，选择函数模型，显示拟合曲线及解析式;② 进行误差分析;③ 预测30分钟之后的水温;④ 对该模型进行评价.

完成后拍照提交，每个小组提交一份，随后由小组代表展示讲解.

师生活动：各小组选择并建立了四种函数模型：一次函数、二次函数、幂型函数、指数型函数. 小组代表分别进行展示汇报，小组之间展开互动交流.

生1：我们组选择一次函数，解析式为[y=-3.88x+][83.62]，从图3看各点偏离较大，误差平方和为4.859 1，相对较大，预测30分钟之后的水温为-32.685 2 ℃，与实际情况不符，我们组认为一次函数模型拟合效果不够理想.

生2：我们组选择了二次函数，解析式为[y=0.35x2-][5.61x+84.78]，从图4来看各点基本都落在了曲线上，误差平方和为0.369 4，相对较小，预测30分钟后的水温为228.56 ℃，与实际情况不符，我们组有些疑惑，这算不算一个好的函数模型呢？

师：谁能帮助生2解答这个问题？

生3：函数发展趋势和实际不符的话就无法预测水温什么时间降到60 ℃了.

师：很好！数学建模的目的是在对现有数据进行函数模型拟合的基础上，对数据未来的发展趋势进行预测，只在现有的数据范围内考虑不具有预测作用，也就失去了建模的意义.

生4：我们组选择了幂型函数，起初，根据图5中的散点图，我们并没有得到函数图象和解析式，分析原因是0不在定义域内，所以我们选取了后面5个点进行拟合，得到函数解析式[y=80.12x-0.12]. 从图6来看各点都有偏离，误差平方和为3.699 5，相对较大，预测30分钟后的水温为53.595 5 ℃，与前两种模型相比，较为理想，我们组就想能否对这种模型进行适当地改进.

师：可以做哪些变化？

生4：当[x]变大时，y会一直变小，直至逼近0，但实际上是逼近室温的，所以函数图象需要上移. 另外，图象与y轴有交点，所以图象需要左移，即在x的后面加[a a>0]，再考虑到形状的变化，给出系数[k，] 我们认为[y=kx+a+b a>0，b>0]是比较合适的.

师：生4所在的小组在经历一番挫折之后，注意到茶水温度降到室温就不能再降这一事实，结合散点图的形状及在坐标系中的位置对函数模型进行优化，看来这个小组的合作非常充分，成员之间有思维的碰撞，产生了一些创造性的想法，值得肯定.

生5：我们组选择了指数型函数，得到的解析式为[y=83.89e-0.05x]. 从图7来看各点都有偏离，但偏离不大，误差平方和为2.634 7，预测30分钟后的水温为17.546 2 ℃，借鉴生4所在小组的想法，我们组也对这种函数模型进行了适当优化，得到[y=kax+b]，加b的理由与生4提出的一样，考虑到图象与y轴交点的纵坐标为85及形状的变化，添加系数[k].

【设计意图】建立模型是本节课的重点，也是数学建模活动的关键环节. 对此，以核心任务为驱动，为学生创造了实践操作、探究发现、合作学习、个性展示、交流分享的机会. 鼓励模型选择的多樣化，使学生亲身经历用数学软件建立模型、检验模型的过程，强化了重点，提高了学生分析问题和解决问题的能力，学生的思维严谨性和思维能力也得到了有效提升.

（3）优化模型，检验模型（重点、难点）.

师：经过刚才的筛选和优化，大家认为函数模型[y=kx+a+b]和[y=kax+b]的拟合效果哪个会更好？事实是否确实如此呢？

核心任务探究2：从函数模型[y=kx+a+b]和[y=][kax+b]中任选一个，小组合作完成以下任务.

① 建立模型，求解模型.

② 分析误差，检验模型.

教师提供工具：计算机.

要求：结果精确到0.01.

由小组推荐的代表进行展示交流，其他小组进行评价.

师生活动：由于现有的数学软件中没有这两种函数模型，无法用现成的软件来拟合. 学生主要用以下两种方法来解决这个问题. 一是笔算的方式，用待定系数法求解，并通过计算残差平方和进行误差分析;二是用MATLAB软件编程建模. 在合作与交流的过程中，学生体会到通过有代表性的点的选取、精确的计算，以及对参数进行适当地调整，对模型进行不断改进可以达到更好的拟合效果. 此外，学生还给出了模型中参数的意义，揭示了数学模型与实际生活的联系.

学生编程运行的结果如图8、图9所示.

【设计意图】该环节既是本节课的重点，也是难点. 核心任务探究2给学生提供了多种工具，鼓励建模方法的多样化. 同时，让学生体会用信息技术解决问题的优越性. 通过合作探究、师生交流，学生对数学建模的一般方法及在建模过程中问题的解决有了更深刻的体会，进一步强化了重点、突破了难点，也发展了学生的数学运算、逻辑推理和数学建模素养. 通过展示研究成果，小组之间相互评价、质疑，分享心得和不足，学生的思维严谨性和语言表达能力得到了提升.

师：大家用数学软件拟合出的函数，是用最小二乘法的原理得出的该种模型下的最优函数，怎样分析这两种模型的优劣呢？

核心任务探究3：比较以上两种函数模型的拟合效果.

师生活动：通过集思广益，学生想到可以比较残差平方和的大小，这是从“数”的角度考虑，还有学生想到可以将函数图象画在同一坐标系中，观察图象与数据的拟合程度，或者适当增加数据点再进行判断，这是从“形”的角度考虑. 我们对学生的方法进行一一验证，发现就现有数据点而言，幂型函数的拟合效果较好，但随着后续数据的增多，指数型函数模型更接近实际.

【设计意图】该探究活动的设置引导学生从数和形两个角度来检验模型，强调建模的结果要符合实际. 让学生明确函数模型的拟合效果好是相对而言的，与数据点的选取有关，数学模型没有最好只有更好，从而突破了本节课的又一难点.

（4）联系实际，解决问题.

师生活动：学生运用模型计算出茶水冷却到60 ℃所用的时间大致为7分钟，这与实验测得的结果基本一致.

【设计意图】建立数学模型的目的在于应用模型解决实际问题，这是从数学问题到实际问题的转化过程.通过解决实际问题，学生获得将数学知识成功应用于实践的体验. 至此，本节课的教学目标也已达成.

（5）归纳小结，拓展提升.

师生活动：学生完善数学建模的流程图，说说有哪些收获和感想，随后由教师补充完善，归纳概括数学建模的思想方法和基本步骤.

【设计意图】在归纳、概括数学建模基本步骤和思想方法的同时获得思维方式和价值观的提升.

师生活动：作为知识的延伸和拓展，向学生展示牛顿冷却模型.

【设计意图】通过牛顿冷却模型，让学生体会科学家的探究历程，激发学习动力.

3. 结题

师生活动：学生课后以小组为单位，完成“茶水最佳饮用时间”的研究报告，并且另选时间开展结题答辩.

【设计意图】规范研究报告体例，让学生将数学建模的过程以研究报告的形式呈现出来，并另选时间进行报告、交流，让学生分享成果和收获. 教师组织学生进行自评、互评，注重对学生数学建模活动的过程性评价.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃，张艳娇，金克勤. 数学建模活動的课程理解、教材设计与教学实施[J]. 中学数学教学参考（上旬），2020（5）：13-19.

[3]李现勇. 高中数学建模教学的实践：以“学校无线信号发射器安装方案”为例[J]. 数学通报，2020，59（1）：23-27.