王静 崔云安

摘 要：給出在φ（u）/u→A（u→∞）情况下由一般的Orlicz函数生成的Orlicz序列空间光滑点的判别准则以及光滑点与很光滑点、强光滑点的等价条件，并在此基础上推出了该空间具有光滑性的充分必要条件，至此Orlicz序列空间光滑点判据得以解决。

关键词：Orlicz序列空间;光滑点;强（很）光滑点

DOI：10.15938/j.jhust.2021.03.022

中图分类号： O177.3

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2021）03-0147-06

A Note on Smooth Points in Orlicz Sequence Spaces

WANG Jing， CUI Yun-an

（School of Science，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

Abstract：In this paper， when φ（u）/u→A（u→∞） the criterion of smooth points in Orlicz sequence space generated by general Orlicz functions and the equivalence conditions of smooth points with very smooth points and strong smooth points are given. On this basis， the sufficient and necessary conditions for smooth points in Orlicz sequence space are derived， so that the criterion of smooth points in Orlicz space can be solved.

Keywords：Orlicz space;smooth points; strong （very） smooth points

0 引 言

众所周知，由N函数生成的Orlicz序列空间光滑点很早就被讨论了，而且获得了充分必要条件，但对φ（u）做了比较苛刻的限制，即φ（u）/u→A（u→∞）。本文将讨论在φ（u）/u→A（u→∞）情况下由一般的Orlicz函数生成的Orlicz序列空间光滑点的判据。

首先给出了在limu→∞φ（u）u=A<∞情况下光滑点判别准则以及光滑点与强光滑点和很光滑点的等价条件，并在此基础上推出该空间光滑的充要条件，至此Orlicz序列空间光滑点判据得以解决。

1 预备知识

称映射φ：R→（0，+∞）为Orlicz函数是指

Ⅰ φ是偶的连续的凸函数且φ（0）=0;

Ⅱ 当u≠0时φ（u）>0。

称函数Ψ（v）=sup{|u|v-φ（v）：v≥0}为φ（u）的余函数，函数Ψ（v）也是一个Orlicz函数。

用l0表示所有实数序列构成集合，对任意x={x（i）}∞i=1∈l0，，称

Iφ（x）=∑∞i=1φ（x（i））

是x关于Orlicz函数φ的模。线性集

lφ=x={x（i）}∞i=1：a>0，使Iφxa<+∞

分别赋Luxemburg范数

‖x‖=infk>0：Iφ（xk）≤1

和赋Orlicz范数

‖x‖oφ=sup{∑∞i=1|x（i）y（i）|，Iφ（y）≤1}

构成Orlicz序列空间，记为lφ=（lφ，‖·‖），l0φ=（lφ，‖·‖°）。

其子空间

hφ=x=（x（i））∞i=1：c>0，Iφ（xc）<∞

关于上面的两种范数也构成Orlicz序列空间，记为hφ=（hφ，‖·‖），l°φ=（hφ，‖·‖°）。

已证得‖x‖°=inf1k（1+Iφ（kx）），当且仅当k∈k（x）=[k*，k**]时范数可达，其中

k*=inf{k>0，IΨ（p（k|x|））≥1}

k**=sup{k>0，IΨ（p（k|x|））≤1}

有关Orlicz序列空间的更多知识参见文[1-4]。

当limu→∞φ（u）/u=A<∞时，p（u）→A，当u→∞此时可能有k（x）=即k*x=+∞。若k（x）=，则有

‖x‖°=inf1k（1+Iφ（kx））=limk→∞1k（1+Iφ（kx））

定义1[3] 设X是Banach空间，x∈X，若f∈X*满足‖f‖=1，〈f，x〉=‖x‖，则称f为x的支撑泛函，若x的支撑泛函唯一，称x是光滑点。即

Grad（x）={f∈X*：‖f‖=1，〈f，x〉=‖x‖=1}

含有唯一元。

定义2[3] 强（很）光滑点是指是x光滑点且

fnS（X*），fn（x）→1蕴含

‖fn-f‖→0（fn-fw0）

其中f为x的唯一支撑泛函。

定义3[3] 称Orlicz函数φ满足δ2条件（记为φ∈δ2）是指存在常数K>0及u0>0使得对任意的u∈R，|u|≤u0有

φ（2u）≤Kφ（u）

2 主要结果及证明

本文所用引理如下：

引理1[1] lφ=hφ（lφ°=hφ°）ψ∈δ2

引理2[1] （hφ）=lΨ°;（hφ°）=lΨ;F为奇异泛函且

（lφ）=lΨ°+F;（lφ°）=lΨ+F

引理3[1] 设φ∈δ2，u∈lφ有

i.‖u‖=1Iφ（u）=1;

ii.对于ε>0，δ>0，使得

‖u‖≥εIφ（u）≥δ。

引理4[5]

‖φ‖=sup{φ（x）：Iφ（x）<∞}=

sup{φ（x）：Iφ（x）<ε}

引理5[6] 对任意f∈（lφ）可唯一分解为f=v+其中v∈lΨ°，φ∈F，且

‖f‖°=‖v‖°+‖‖°

对任意f∈（lφ°）可唯一分解为f=v+其中v∈lΨ，∈F。

引理6[6] 记

ξφ（u）=infλ>0：Iφxλ<∞

则x∈lφ有

ξφ（u）=limn→∞‖x-[x]n‖=limn→∞‖x-[x]n‖°=

inf{‖x-y‖：y∈hφ}=inf{‖x-y‖°：y∈hφ°}

其中[x]n=（x（1），x（2），…，x（n），0，…）。

引理7[7] 若φ与Ψ是互余的N函数，则lφ°是光滑的充要条件φ∈δ2且q（v）在0，Ψ-112上严格单调递增。