江苏省丰县中学(221700)马德宇

1 问题的提出

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的[1].

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出:基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质,创设合适的教学情境、提出合适的数学问题,引发学生思考与交流,形成和发展数学学科核心素养.在解题教学中,我们常常会教给学生一些特殊的解题方法,诸如“一题多解”、“多题一解”.好的数学学习既能走进去,又能走出来,善于从解题中寻求数学思想方法,提升学生思辨智慧,以此提升学生思维素养.在这些问题的求解过程中究竟蕴含着什么样的思维,也就是说,在解题过程中我们是如何思维的,著名的美国心理学家吉尔福特按思维方向把思维分为发散思维和会聚思维两种思维方式.发散思维能排除常规的思维定势,突破固有的认知结构,融会贯通地驾驭知识,灵活地选择各种途径和方法,提出多种多样的解答,是一种开放性的现代思维方式.会聚思维是运用已有的知识、经验和方法,把问题所提供的各种信息,沿着解决问题的途径,朝着一个方向集中思考,从而得到一个确定的结论.

2 解决问题的途径

2.1 一题多解与发散思维

学生要养成的良好习惯,不满足于用一种做法和思路解题.一道题目做完之后想一想还有没有其它方法,哪种方法更简单.对于最后的结果,是不是可以有其它的合理解释.

发散思维具有三个特性,即流畅性、变通性和独特性.这三个特性是发散思维的三个不同层次的表现.

2.1.1 流畅性

流畅性是思维沿某个方向活动时,能敏捷畅通地发散,取得丰富的内容,使发散的量尽可能增加.

例1已知实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=9,求ax+by的最大值.

解法1因为(ax+by)2=a2x2+b2y2+ 2axby≤a2x2+b2y2+b2x2+a2y2=(a2+b2)(x2+y2)=9,所以-3 ≤ax+by≤3,故ax+by的最大值为3.

解法2设a=cosα,b=sinα,x=3 cosβ,y=3 sinβ,则ax+by=3 cosαcosβ+3 sinβsinβ=3 cos(α-β)≤3.

解法3设m=(a,b),n=(x,y),则ax+by=m·n=|m||n|cos〈m,n〉=3 cos〈m,n〉≤3.

解法4利用柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2可得,(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)=9,所以ax+by≤3,故ax+by的最大值为3.

通过对解题方法的反思,实现一题多解、多题归一,总结解题规律,注意积累解数学题的思维模式和思维方法,如基本不等式法、参数法、向量法、图像法、极限法、估算法等,关键是引导学生怎样正确的审题,怎样根据已知条件建立正确的数学模型.

2.1.2 变通性

2.1.3 独特性

独特性是指思维以新的角度、新的途径展开,得出与众不同的新颖独特的见解.独特性是在流畅性、变通性的基础上形成的,是发散思维的高级阶段.

例3已知抛物线在y轴上的截距为3,对称轴为直线x=-1,在x轴上截得线段长为4,求抛物线方程.

解法1截距为3,可选择一般式方程:y=ax2+bx+c(a/=0)显然有c=3,利用其他条件可列方程组求a,b值.

解法2由对称轴为直线x=-1,可选择顶点式方程:y=a(x-m)2+k(a /=0)显然有m=-1,利用其他条件可列方程组求a,k的值.另外,由图像对称性可知x轴上交点为(l,0)和(-3,0).

解法3由截距为3,即过三点(0,3)、(l,0)和(-3,0),可选择一般式方程:y=ax2+bx+c(a /=0),代人点坐标,列方程组可求a,b,c值.

解法4由一元二次方程与一元二次函数关系可选择两根式y=a(x-x1)(x-x2)(a /=0)(必须与x轴有交点)显然:x1=-3,x2=1,由截距3,可求a值.

此题解法充分体现了思维灵活性,以简驭繁,用特殊化思想求解,解题迅速、正确.

发散思维是创造性人才必须具备的素质.在数学教学中,我们必须热心引导,多方启迪,着意培养学生发散思维的敏智睿慧.实践证明:选编典型习题,选取不同的研究对象,根据不同的数学规律,运用不同的方法,进行一题多解的练习,是培养发散思维能力的行之有效的途径.

2.2 多题一解与会聚思维

会聚思维具有求同性、程序性和比较性,下面我们结合实例做些简单的介绍.

2.2.1 求同性

会聚思维是以认识事物的共同性或掌握方法的通用性为目的的思维方式.与发散思维的求异性恰好相反,会聚思维是按照原有的知识、经验和方法,去把握事物的共同点.

分析这五道题可知,它们只是提法不同、角度不同,但本质是一个,都可以称为“1”的替换.会聚思维的求同性是人们扩大认识领域,建立并加固知识体系的有力武器.

2.2.2 程序性

会聚思维总是按照固有的观念、常规和步骤进行运作,具有严谨缜密的程序,有章可循,有法可依,步步相接,环环相扣把思维活动指向事物的本质和规律.

a.已知什么、要求什么——已知的是具体数据、还是字母已知量?隐含的条件是什么?是否有信息多余?

b.研究对象如何选取?

c.解题过程怎样确定——是选取一个过程还是几个过程?

d.以前的解题经验有无利用价值——过去解决过这类问题吗?

e.能否构造出待求问题的数学情景——画出一张图来说明问题或表征问题?

反思其过程,发现其错误,通过这样做,不仅可以防止类似错误再犯,而且加深了对正确建立结论的印象,从而培养了思维的批判性,养成经常独立反思的习惯.通过一个例题解决一连串问题可以有效地提高解题能力,通过对解题过程的反思,引导学生反思新旧知识的内在联系,注意用旧知识去理解新知识,同时又用新知识去解决旧问题.引导学生进行知识间的横向、纵向联系,使知识结构化,系统化.

2.2.3 比较性

在集中指向同一目标的几种思路、方案和方法中,通过比较,寻找一个较佳的思路、方案和方法,这是会聚思维的又一特点.大发明家爱迪生试制电灯泡的灯丝时,是从1600 多种不同方案中选出碳化丝这种材料的,这是当时最佳的方案.在数学解题中,我们提倡一题多解,训练发散思维能力,同时,我们也要善于比较各种解法,“多”中择“优”,掌握最简便的解题方法,培养会聚思维的能力.

在上面的例1 中,显然法2 和法3 学生易理解,法四虽然简单,但公式在高中课本中没有.例2 中法1 学生比较好理解,利用判别式解决方程有根问题.

2.3 发散思维与会聚思维的关系

发散思维贵在活跃,思路开阔,方法多.会聚思维注重严谨,比较择优,方法好.在解题训练中是相互补充,相辅相成的.我们既要充分运用发散思维,使用各种方法,沿着多种途径去探索问题,又要善于运用会聚思维,比较各种方法,寻求最佳的解决问题的方案.

在解题训练中,学生比较习惯单一地做题或思考问题,不善于把所学的内容整理归纳,不能构成体系,思考问题时又是东一榔头西一耙子,这种思维的凌乱状态阻碍思维能力的提高.因此在解题教学中应注重培养学生注意以下几点:

“反思与写读书笔记”——引导学生将自己在预习中不理解的问题纪录下来;在课堂上记好笔记,课后整理与补充笔记;看参考书,写点摘录;单元复习,写点小结.

“梳理知识”——数学知识的前后联系比较紧密,每学完一个单元要提醒学生自觉地整理与总结.例如整理圆锥曲线的知识结构.由它们的定义、标准方程、图像和性质,归纳成统览表,并作对比,掌握其相同点与不同点.

“梳理解题方法”——数学中处理问题的方法多种多样,它们分散在各个章节中,要把解决同一类题目的各种知识与方法系统地贯通、串联起来,促使思维系统化与深刻化.例如函数的最值问题.运用二次函数的配方、在闭区间上的单调性、三角函数的有界性、均值定理、二次方程的判别式等方法来解决这样的问题.

解题,要经历“见山是山,见山不是山,见山又是山”的参悟过程.就如同例4 中“1”的代换,1 非1,实为形式非1 而实质是1,1 还是1.那么“Δ”、“O”是什么?是x,是x+2,也是sinx,更是,……,如此,题目就源源不断地来了.

数学家波利亚指出:“好问题同某种蘑菇,有些相像,它们成堆地生长,找到一个以后,你就应当在周围找一找,很可能附近就有好几个.”问题解决只是解题的第一步,之后,从解决的问题出发,运用类比、联想、特殊化、一般化等思维方法,创编派生出一些常规问题和开放性问题,使得问题“成片开发”,提升素养.或许,在不久的高考考场中,你会见到你自己编的题.