广东省广州市广东实验中学(510000)沈源钦 肖勇钢

为推进广东普通高中新课程新教材实施,彰显国家级示范校的示范引领功能,华南师大附中联合广东实验中学、执信中学于12月2-4日共同举办广东省“聚焦育人模式改革、发展学生核心素养”的国家级示范校研讨交流活动,课堂教学通过网络进行直播,笔者代表广东实验中学数学科组参加同课异构课堂教学,引发了大家的热议.以下是我们根据普通高中数学课程标准[1],及追求数学素养的教学设计标准[2]设计的教案和反思,希望广大读者批评指正.

本设计着重突出三角函数的“函数性”[3];注重促进学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养的日常渗透和培养;重构教材内容与编排,力使教学逻辑主线明确,在课堂实践中以教师问题串为引,层层推进,在同课异构课堂现场师生互动热烈,师生问答有效突破难点,顺利实现课堂预设的教学目标,效果较为理想.

1 教学设计

【教材】人民教育出版社普通高中教科书数学必修第一册第177 页至第180 页[4].

【教学对象】华南师范大学附属中学高一年级学生.

【教材分析】三角函数是解决实际问题的重要工具,是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型,是对函数概念、性质、图像变换及函数应用的进一步深化,是一般函数概念的下位知识.

通过本章的学习促进学生数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象和数学建模等核心素养的发展.

三角函数概念这一节之前,学生学习了任意角、弧度制等内容,后续将接着研究三角函数的图像和性质,并应用性质解决一些实际问题[5].而本节内容是研究三角函数图像和性质的基础,故本节内容在本章中具有承上启下的地位.本节内容分两课时,研究路径是“明确研究对象-→对应关系的特点分析-→定义-→性质”.

而第一课时任意角三角函数概念的重点是借助单位圆上点的圆周运动理解任意角的正弦、余弦的定义[5][3],而解决这一重点的关键是在直角坐标系中,借助单位圆、象限角等知识,获得对应关系,确认是函数,再抽象概括出三角函数,在这一过程中,学生可以感受到数形结合、数学化、化繁为简等数学思想和方法.

【教学目标】

(1)借助单位圆上点的圆周运动,结合已学习的任意角和弧度,理解抽象化与形式化的任意角正弦、余弦定义,体会定义的合理性;

(2)能根据三角函数定义求特殊角的三角函数值;

(3)能求解和理解“坐标比”定义:只要终边上任意一点,便可以求得相应的三角函数值;同时升华认识到单位圆这一数学模型的优点.

(4)经历抽象概括三角函数模型的过程中,体会数形结合、数学化、化繁为简等数学思想和方法;(获得基本思想)

(5)促进学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养的发展.

(5)体会三角函数发展历史与课程学习阶段的一致性感受数学发展的曲折,以及追求严谨的学科价值.

【学生学情分析】

(1)认识基础:学生在初中已学习了函数的初步概念,进入高中后又从集合与对应的观点重新刻画了函数的概念,研究了指数、对数、幂函数的定义、图像和性质[5],故学生已具备了学习和研究一个新函数的基础知识、基本活动经验和初步能力.本节课之前学生学习了任意角,以及弧度数与实数的一一对应,这为学习任意角的三角函数奠定了基础.

(2)认知障碍:三角函数是“从角(实数)的集合到坐标分量的集合”[5]的对应关系,其概念的构建是一个数学化的过程,这与以前各类初等函数概念的建构过程是不一样的,与学生的已有经验有较大差距(如指数函数、对数函数、幂函数等是通过具体事例的共性归纳而抽象出来,其解析式有明确的运算含义)[3],学生对任意角三角函数对应关系的理解要比从前困难些,因此在“对应关系”的认识上要破除定势[3],这是教与学的一个难点,所以在教学中需以直观的几何方式呈现单位圆上点的圆周运动,通过合理设计问题串,及函数值运算环节,促进学生更好地理解定义,突破该学习难点.

【教学重点、难点】

重点:借助单位圆上点的圆周运动建构和理解任意角的正弦、余弦的定义[8];能根据定义求特殊角的三角函数值.

难点:从单位圆上点的圆周运动中如何确定变量,如何明确对应关系,如何构建和理解对应法则.

【教法、学法分析】

任意角三角函数的概念是一般函数概念的下位概念,是“下位学习”[3].为了更好地突出“任意角三角函数的函数性”并能根据定义进行简单求值,所以在教学策略上,以生活情景摩天轮抽象出圆周上点P的运动为教学起点[9],调动象限角、弧度制、单位圆、坐标系等相关知识,从圆周运动中寻找变量、确定变量,抽象并概括出任意角三角函数的概念.因此在本课时中采用“以学生活动为主线,教师通过问题串引导学生思考,构建和理解任意角的正弦、余弦的定义的教学策略.部分教学策略设计说明如下:

(1)利用单位圆上的圆周运动,由老师通过适当引导,学生寻找变量;

(2)由老师通过问题串提问,寻找变量α与P点的横、纵坐标间的对应关系,从而为理解三角函数的对应关系奠定基础;

(3)再通过问题引导,使学生明确三角函数的“三要素”,突出了三角函数的“函数性”,使得三角函数定义的引入水到渠成,更好地建构和理解任意角正弦、余弦的定义.

【教学流程】

(一)提出问题,寻找变量

1.教学内容

摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,乘客坐在摩夭轮的座舱慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.

现已知某摩天轮最高点距离地面160 米,转盘直径153米,游客乘坐在座舱P,从距离地面最近的位置A出发,转盘逆时针方向匀速旋转,旋转一周约30 分钟.(即4πrad/h)

如何刻画(描述)座舱P的位置变化?

摩天轮上座舱P的运动可以近似看做质点在做圆周运动.

数学问题:单位圆O上的点P以A为起点,做逆时针方向旋转.用哪些变量刻画(描述)点P的位置变化?

(1)借助角α的变化刻画点P的位置变化:形

(2)借助坐标描述点P的位置:数形结合

2.师生活动

教师引言:经过前两节任意角和弧度制的学习,我们一起来解决下面的问题:游客乘坐在座舱P,从距离地面最近的位置A出发,转盘逆时针方向匀速旋转.当我们把座舱P看成质点,则可看成点P在圆周上运动.为研究的方便,我们在单位圆进行研究,因此可抽象出这个数学问题.

提出问题:单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转,可以用哪些变量刻画点P的位置变化?

注:学生可能回答弧长、弦长、圆周角∠AOP、坐标、时间等,在教学中都要给予回应,尽可能给予表扬,并理性讨论.

教师引导语:我们一起来考察这些变量,看看哪些比较合理.

特别注意:这里对弧长、弦长变量的考察,可以从给“定弧长和弦长,可能得到两个P点位置”进行点评.

其中,当学生回答坐标时,教师肯定学生数形结合的数学意识和思想,同时教师及时追问引导1:坐标系放在什么位置合适?【即如何建立恰当直角坐标系】

通过学生回答建系问题,教师升华总结:建系是联系几何与代数的桥梁,是实现数形结合思想的重要方法.依据对称性以及关于任意角终边在非负半轴的要求建系.通过坐标表示点P:数形结合.这个变量合理.

教师引导学生分析角:给定角α,可以确定射线OP,可以确定射线与单位圆交点P(唯一).板书“射线OP →点P”.并及时引导学生从摩天轮转动不止1 圈及顺时针转动等,引导学生应为任意角.这个变量合理.

【设计意图】1.由摩天轮实际例子抽象出数学问题,明确本课时的研究任务;2.通过将一般圆周运动简化为在单位圆进行研究,不失一般性,体现化繁为简,突出本质的数学研究方法.通过教师的提问和引导,寻找到刻画数学模型(即刻画P点位置变化)的两个变量,为下一环节的探究自然铺垫.

(二)联系变量、构建函数

1.寻找对应关系

由教师引导:角α与点P横、纵坐标建立对应关系

教师边通过PPT 动画的展示,边提问学生(点名),OA是始边,当我们确定角α时,能确定什么?——(学生可能回答终边),教师追问:终边唯一吗?那终边此时和单位圆有几个交点,交点是谁?——(学生回答只有一个,是P点)

此过程教师边提问边在PPT 给出如下过程:

2.获得函数关系

教师层层引导,

第一次引导:α定了,y定了,几个?(学生回答:1 个);α定了,x定了,几个?(学生回答:1 个)

第二次引导:这样的话,给定角α,α什么范围呢?(学生回答实数范围,教师要明确任意角的集合就是实数集R,看来引入弧度制是很有必要的.),有唯一实数的y与之对应;同理,给定角α,实数有唯一实数的x与之对应.这就是什么?(学生回答函数)

学生给出回答,教师进行如下板书:

教师小结:综合以上大家的回答,得到比较清晰的两个函数关系,在弧度制下任意角为自变量,分别以横、纵坐标为函数值的两个函数了,不妨记为f和g(板书如下)

【设计意图】(1)这是本节课的重点和难点,结合一般函数概念、任意角、弧度制等知识,通过教师直观演示、不断设问、追问和层层引导,学生获得三角函数的对应关系,帮助学生在一般函数观念下理清三角函数的“三要素”,初步构建三角函数概念,为理解形式化的三角函数定义起关键作用,突破了教与学的难点.

(2)在概念的形成过程中,体会函数思想和数形结合思想.

(三)理解法则,构建概念

教师:请同学根据刚才两个函数关系,求解函数值.

注:学生通过计算,观察给定角之间的关系,根据函数关系,求得结果.教师通过提问学生获得结果,其中重点提问学生回答和的计算过程.

教师需做出三点引导:(1)要点出利用初中解直角三角形解题;(2)引导学生在长度上添加符号获得坐标;(3)由初中直角三角形得和进而得到并由学生等,从而获得对应关系表达式:y=f(α)=sinα,x=g(α)=cosα,

根据“点P纵坐标y、横坐标x都是角α的函数”的函数关系求f(a)、g(a)

【设计意图】这是本设计的亮点.通过学生练习,巩固理解刚刚构建的函数关系,帮助学生构建和理解三角函数解析式.也为获得初高中定义关联探究提供直观素材.

(四)关联探究,深化认识

教师提问:初中也有三角函数,那初高中的定义有什么区别和联系?(由学生回答,并整理为三个维度的比较)

初中定义高中定义函数值符号值均为正数可正可负可零角的范围锐角任意角函数值定义边长比值终边上点的坐标

教师引导:初高中三角函数定义有什么内在联系?

要引导学生在上一张PPTΔOMP中,由初中定义得由高中定义得sinα=y.

【设计意图】通过上一环节的运算结果,由教师引导学生分三维度进行回答,体会高中三角函数定义与初中三角函数定义的区别,从锐角的初高中运算结果的一致认知到高中三角函数定义统一和兼容了初中三角函数定义.

(五)明确要素、理解概念

1.教师给出三角函数的定义并黑板板书:

设α是一个任意角,α ∈R,它的终边OP与单位圆交于点P(x,y),把点P的纵坐标y定义为角α的正弦函数y=sinα;把点P的横坐标x定义为角α的余弦函数x=cosα.

2.教师引导学生理解从函数三要素对正切函数进行“检验”,确认其函数关系.

把点P的纵坐标与横坐标的比值定义为角α的正切函数.

3.教师要特别强调:α是自变量,sinα是整体,离开自变量α的sin,cos,tan 是没有意义的.

4.给出三角函数的常用记法:

教师要给学生特别指出此处的x、y,与初始定义中的x、y是不一样的!

【设计意图】(1)在建构三角函数概念过程中,通过再次明确函数三要素,较为准确地理解三角函数定义.(2)给出三角函数的常用记号,为后续章节的学习做好知识和符号铺垫.

(六)历史拓展、感同身受[9][10]

教师讲述:任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一.而三角学是天文观察结果推算的一种方法,因此在相当长的时期里隶属于天文学.

直到1464年,德国数学家雷格蒙塔努斯第一次独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说,但仅仅采用了正弦和余弦函数且函数值限定在正数范围.

而后哥白尼学生将三角函数定义为直角三角形的边长之比,制作了更精确的三角函数表.

18世纪欧拉新定义了三角函数(接近现今定义),从函数角度去理解,使其可脱离几何图形去进行自由的运算,反映运动和变化的过程,且在微积分、物理学研究(如振动、声音传播等)中大放光彩.

【设计意图】通过介绍三角函数的历史发展(与学生的三角函数概念学习过程具有相似性),使其感同身受,获得共鸣,体会数学发展的曲折;渗透数学文化,传递数学严谨的学科价值.

(七)深化应用

1.进阶训练

例1如图已知角α的终边上的点求角α的正弦、余弦和正切值.

2.变式训练

变式 1:已知角α的终边经过点P(-12,5),求角α的正弦、余弦和正切值.

分析:ΔOM1P1～ΔOMP,由得由.

3.拓展理解

变式2:已知角α的终边经过点P(x,y),求角α的正弦、余弦和正切值.

分析:ΔOM1P1～ΔOMP,由v和y同号,则;由v和x同号,则.

4.获得等价定义

教师注意引导:1.当r=1 时,则为初始定义形式,体现了数学简洁和形式美;2.当α是锐角时,则函数值则等价于边长比,再次认识初高中定义的联系.

设角α的终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则.

【设计意图】1.通过进阶和变式训练巩固所学定义,也通过练习层层递进,为三角函数的“坐标比”定义证明做了铺垫.最终使学生认识到:只要终边上任意一点,便可以求得相应的三角函数值,得到三角函数的“坐标比”定义.2.使学生同时对单位圆这一数学模型的再认识:单位圆对三角函数定义起到更易理解、运算的便捷性.

(八)课堂小结

1.知识小结:三角函数定义,以及如何求三角函数值

2.思想归纳:

(1)从引入坐标表示感受数形结合的思想和方法,从如何建系及在单位圆中探究体会数学化繁为简的方法;从具体问题—定义—例题—新结论的学习路径,体会数学中特殊与一般不断转化的研究方法.

(2)经历从认识任意角三角函数新概念统一兼容初中三角函数概念;从三角函数历史中,看到数学发展的曲折和严谨追求.

(3)升华对弧度制引入必要性的认识.

【设计意图】教师引导学生归纳总结,升华认识

(九)作业布置

1.完成书P180 练习题、P184 习题5.2 第1,11,12 题

2.完成特殊角的三角函数值表

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度sin α cos α tan α

3.拓展阅读:阅读课本P186 页,课后查阅相关知识.

2 设计说明

(1)本设计要体现新课程理念及本课时的教材实施要求,更加突出体现三角函数的“函数性”,逻辑主线明确,在课堂实践中以教师问题串为引,层层推进,在师生问答互动中突破难点.

(2)与以往课标和旧教材(实验版)比较,高中数学新课程标准(2020 修订版)和新教材(2019 版)对三角函数概念的学习要求和知识呈现顺序发生变化,其更加凸显三角函数的“函数性”,以及以数学建模作为逻辑主线的编排.对于新课标新教材,一线教师对三角函数概念应构建如下的认知概念图式[5]:

①构建三角函数的概念,是一个数学化的过程,它是直接由单位圆上点的运动规律的描述而得到;

②三角函数的概念对应关系与众不同,主要表现在不以“代数运算”为媒介,要突出其“函数性”.

③理解三角函数概念,关键在于搞清楚其“函数三要素”,核心在于明确它的对应关系.

④任意角三角函数以坐标分量为函数值,是研究现实生活中的周期现象而发展起来的;而锐角三角函数以比值为函数值,是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的,他们研究的对象不同,表现的性质也不同.

(3)教材内容重构

①基于教学对象华师附中学生有较高的学习水平和理解能力,对教材呈现做处理如下:教材中的探究1:求三个特殊角的终边与单位圆的交点P,从而得到“任意给一个角α,其终边与OP与单位圆的坐标唯一确定”的结论,处理为由学生通过PPT 动画的演示,通过口头逻辑推理得到结论.

②通过设计求函数值的运算环节,学生的“再创造”过程,让学生自然构建解析式,突破对函数关系的理解障碍;同时将教材探究2 内容自然融入其中,直观的数据不仅让学生体会初高中三角函数定义的联系和区别.这一部分是本设计的亮点之一!

根据“点P的纵坐标y、横坐标x都是角α的函数”的函数关系,求f(α),g(α)

初中定义高中定义函数值符号值均为正数可正可负可零角的范围锐角任意角函数值定义边长比值终边上点的坐标

(4)将后续课程有关于三角学与天文学的数学史资料,与笔者查阅的三角函数概念历史发展资料有机整合,结合学生学习三角函数概念的进程一致性,使学生感同身受,产生共鸣,渗透数学文化,传递数学严谨的学科价值,为本设计的另一亮点.

3 评课议课与教学改进

本教学设计在广东省教育厅、教育研究院指导下的2020广东省普通高中新课程新教材实施研讨交流活动中进行实施,能顺利实现课堂预设的教学目标,师生互动热烈,教学效果理想.广大省内同行通过网络直播观看并进行评议指导和鼓励,专家也进行点评,评课议课内容摘取如下:

中学同行议课:(1)上课的感觉非常好,结构处理个人觉得最好(广州执信中学朱老师);第一次听到把三角函数概念讲得这样透彻(阳春一中刘城老师);(3)教学设计能重构教材,兼具创新性和操作性;(4)情景引入自然,讲解水到渠成,自然而然;(5)师生互动热烈,教师层层递进,有效引导.(网络留言)

专家点评(广东省教育研究院数学科主任吴有昌教授):沈老师对本节课的教学内容分析清楚,理解到位,对学生的认知障碍估计准确.教学目标全面,注重核心素养的培养;教学方法策略合理,对在建模过程中如何选择变量、如何建立和理解弧度制下的任意角和它的终边在单位圆上交点的横坐标、纵坐标之间的对应关系这两个难点设计了问题串,顺利突破了难点,突出了从函数这个大概念下理解三角函数的定义,凸显数学的本质.教学设计整体合理,教学实际效果好.

笔者的教学反思:根据课堂的实践情况,笔者认为本设计可在以下三方面进行改进:

(1)情景设计和引入可以更加饱满,点明周期性现象;

(2)数学史部分可以放置在例题之后,小结之前,使得课堂主线逻辑性更强;