广州市海珠外国语实验中学(510230)顾明哲

广州市天河区教师发展中心(510610)刘永东

2019年10月,笔者有幸在广州市中学数学教学研究会组织的初中数学教研活动中,主讲了公开课——探究月历中的规律.这节课围绕“数学眼光看月历,逐步探究促认知”的主题,以信息技术为辅助展开,现将其背后的思考与实施呈现如下.

1 内容解析

“探究月历中的规律”是人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册第二章的教学内容,属于数学活动课.主要内容为借助整式和整式的加减运算,探究和表示实际问题中的数量关系.

发展符号意识,主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理,得到一般性结论.建立符号意识有助于学生理解符号的使用是进行数学表达和数学思考的重要形式[1].作为训练符号意识的绝佳素材,整式的加减为学生打开字母世界的大门.小学已经学习过用字母表示数、简单的列式表示实际问题中的数量关系.在整式学习之后,学生对整式的分类和运算有了基本认识,但对于抽象字母的理解可能停留在概念识别和加减运算上,略显机械和生硬,也难免会觉得字母运算离日常生活很遥远,没有实用性.为加强和实际的联系,本节课选取了学生熟悉的月历,围绕“月历区域求和”设计活动.通过活动可体会到:字母运算来自于生活,又服务于生活;字母运算相较数的运算具备优势,也能感受运用数学知识的乐趣.

2 教学目标

基于以上分析,设定教学目标如下:

(1)用整式和整式的加减运算表示实际生活问题中的数量关系.

(2)尝试用不同的方法探究数学规律,掌握从特殊到一般的分析方法.

(3)经历图形和规律的变化探究过程,体验自主设计、分析的学习乐趣.

3 重难点分析

本节课重点是借助整式加减的知识,体会从特殊到一般的探究过程.在活动设置上,围绕月历设置四个活动将探究层层深入,设问方式逐步开放,为学生自主探究提供了充足的空间.在题目设置上突出了方框的数量变化、位置变化,为学生自主设计提供了充足的“脚手架”.

从自主设计的方框中发现规律,并将个人发现的规律描述出来,这对于初一学生是个难点,尤其是学生设计的图形“不规则”的时候.为此方框中数之间的规律,要引导到求和的方向上来.减法从运算上没有问题,但加减混合更不便于发现和表达规律.乘除则是初二知识,学生还不具备相应的知识储备.

为突破重难点,基于实效性,本课整合了Geogebra 画图软件等几个信息技术手段,并只在必要时作为教学的辅助出现.包括展示“方框”的变化、“方框”的移动,借助投屏助手便捷展示学生作品,针对课后作业辅导的微课等.

4 教学过程

4.1 创设情境,引入课题

问题1:用月历(如图1)变一个魔术:请一位同学横着选连续3 天,那么只需要将3 数之和说出来,魔术师就知道选的是哪3 个数.比如和是27,那么选的就是8,9,10.你知道这个魔术的原理吗?

图1

【追问】:怎样证明这个发现?三个数里面的哪个数显得比较特别?

【设计意图】:以魔术设置情景引入,吸引学生的注意力.让学生感受到月历上的数与数之间不是孤立的,借助追问感受三个数中间这个数的重要性;初步体会“特殊值”发现规律,“字母一般方法”证明规律的归纳过程.

问题2:经证明,横向的三格方框移动之后,结论依然成立(GGB 动态展示,如图2).竖向三格也可类似证明.小明说:他连续放假三天数字和是8.小刚回答道:那我连续三个星期五去打羽毛球,日期之和是90.有可能是这样吗?为什么?

图2

【设计意图】:形成实际——理论——实际的活动过程,增强问题的情境性,让学生感受到符号运算可以来源于生活,又服务于生活.

4.2 变式拓展,类比探究

问题3:当方框中的数从3 个增加到9 个(如图3),这9个数加在一起的和是多少?这个和是正中心的数的几倍?当方框移动以后(如图4),这个倍数关系是否依然成立?

图3

图4

【追问1】:“用字母代替数”这样的证明方法有什么优势?

【追问2】:能否将这个问题转化为问题1 来解决?

【设计意图】:追问1 让学生思考字母运算的优越性.增加方框内数字的数量,为学生提供自主设计的方向.同时将结论的发现引向求和,避免出现作差,求积等.追问2 让学生能多角度的思考解决的策略,9 格既可以当成一个新问题研究,也可以把9 格结构转化为三组3 格结构,丰富问题解决的经验.

问题4:当方框中的数是4 个(如图5),你能得出什么结论?并给出证明;当方框形状变化后(如图6),又能得出什么结论?

图5

图6

【追问1】:从证明的方法看,问题4 和问题3 相比有怎样的变化?

【追问2】:从设问的角度看,问题4 和问题3 相比有怎样的变化?

【设计意图】:同样都是4 格,形状变化逐渐丰富,为学生自主设计提供思路.追问1 引导学生思考结构的变化,对问题解决产生的影响.用字母表示数的时候,设谁为x?不同的结构选择也会不同,不同的设法决定了能否简化后续运算,能否更容易发现结论.这对学生的符号运用提出了更高的要求.追问2 促使学生进行对比,发现设问的开放性,经历先归纳猜想,再尝试表达,运用符号进行数学证明的过程,感受数学思想指导下的问题解决过程.

4.3 自主设计,小组交流

问题5:格子数量可多可少,格子组成的形状横竖斜各有不同.请设计一个自己喜欢的图形,并尝试探究格子里的数有什么结论?和小组同学分享你的设计和发现.

【追问】:你觉得自己设计这个图形,以及发现的结论,和前几个活动中的图形相比,有什么不一样的地方.

【设计意图】:自主设计极大了提升了学生的参与程度,保证了学生对外在情境的探究热情,体验数学活动的乐趣,同时又内化本节课的重点知识.追问让学生有意识地为探究增加新特性(如图7-图9),促使学生进行创造性的思考和设计.

图7

图8

图9

4.4 小结归纳,思维提升

我们从月历里提出一个问题:研究数与数的关系.大家容易看到的是数,看不见的是关系.关系也是数学研究的一个重点,包括数与数的关系,式子与式子的关系,三角形与三角形的关系.对月历中的数来说,我们用方框选取一些不同的区域,改变方框数量和形状,求和时用到了整式的加减知识.探究规律过程中,特值法很直观但都是特例,适合用来发现规律;符号证明具有一般性,适合用来证明规律.

从看似普通的一堆数字里面,竟然能发现一些神奇的结论.其实我国南宋数学家杨辉,借助相邻数之间的关系(如图11),发现了一个不得了的结论,这一发现比欧洲早五百年左右.用一种新的眼光看待数学问题,世界更加精彩.

课后,一个女生带着自己设计的“数表(6 行6 列)”以及“带阴影的格子”给我看(如图12),她考虑到框的美观和含义没有用一行7 个数,考虑到我们是4 班所以用的形状是数字4,创造性的设计了一个对称轴是斜着的图形,真是厉害!

图12

5 教学反思

笔者认为,数学活动课的活动需要具备三个特性.

5.1 问题情景性

即情景建模,从月历观察数提出问题,师生各具创造性,这需要倾听学生问题中蕴含的不同层次的数学思维问题情境性.本课四个活动,从问题角度看,活动一为三格求和、猜这三个数是多少;活动二为九格求和、直接证明与中间数的关系;活动三为四格给定、自己探究其中的规律;活动四为自己设计方框,自己探究其中的规律.从题设的格子位置和数量,所证结论由封闭到开放,是有意在为学生搭建一个层层递进的探究情景.让学生在熟悉的情境中自主增添新特征,促进学生内在的数学思维活动,并提高了活动参与率和获得成功体验,不仅保证学生对活动情境的外在兴趣,更是内在紧密结合下保证了体现数学的本质.从学生的自主设计看,出现了一些在之前基础上新的数量变化,无疑是让学生悟到了一些数学发现的“再创造过程”,这使学生更乐意学.同时,在经过教师概括后促使这些经验由浅入深转化,让学生获得数学知识技能和数学思维,感受了数学思想的过程.

5.2 指向认知高阶性

即关注学生的理性思维发展,强调对知识的深度学习,侧重问题解决,并在整体和联系上注意融会贯通.不仅仅是看到数的简单规律,还要探究数与数之间的关系,如何研究,这时需要退,寻找局部区域内部的数来研究,但不能局限思维,要让学生自己主动去自主发现,进而再去研究不同区域之间的数的关系,这个就是结构与结构之间的关系,出现深度学习.当学生运用字母表示进行问题解决,就达到了深化建模的目标,此时就会产生知识的融会贯通,即是达到了日本数学家小平邦彦所讲的学习状态:理解数学相当于观察数学现象:观察不是用眼睛看,而是通过一定感觉形成感知,是一种不同于逻辑推理的纯粹感觉,这种感觉几乎接近于视觉.因此,开展数学活动必须在教学目标指引下,通过对具体事物的实际操作、考察和思考,在积累经验到一定程度时,在教师的引领下飞跃形成新的认识.实质上,这是为学生搭建一个参与具备高阶认知的数学活动平台.

5.3 技术高效融合性

融合信息技术的作用在于提兴趣,找问题,测效果,助思维等,可做可不做的不做.例如,自己能讲清的、学生能明白的,可以不融合.技术的使用不用全面开花,抓重点的突出的使用即可.如果是为了形式而忽略了内容,会得不偿失.课堂最重要的是让学生理解数学的本质,这在于理解数学的思维能力,是指在思考和解决问题过程中对数学思想、方法的合理运用能力,与技术高效融合才是助力思维的成长.例如:Geogebra 强大的动态展示功能,只用于制作课件,表现格子移动,归纳和小结;电子白板和投屏助手,用于便捷展示学生的设计作品;课后作业的难题辅导,配套了相应的微课等.

总的来讲,学习是认知发现、行知创造中完成.没有发现就没有问题,没有问题就不能有好的认知,没有认知就无法深度交流,没有行知,也就失去了创造.而好课需从师生的创造中产生!