杨 丹

(喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844008)

0 引言

得益于凸性与广义凸性在最优化领域的重要作用，使得针对凸性与广义凸性的研究成为数学学科的重要研究课题。但实际上，具有凸性的函数相对来说是很少的。国内外数学学者相继研究出各类广义凸函数、严格凸函数与半严格凸函数及其在最优化邻域的相关应用。

假设E是拓扑线性空间，X⊆E是非空凸子集，f：X→R，以下函数类定义见文献[1]和文献[2]。

定义1[1]如果∀x，y∈X，∀λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(x)为X上的凸函数。

定义2[2]设f：X→R。

(1)如果∀x，y∈X，x≠y，∀λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(x)为X上的严格凸函数。

(2)如果∀x，y∈X，f(x)≠f(y)，∀λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(x)为X上的半严格凸函数。

(3)如果∀x，y∈X，∀λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)≤max{f(x)，f(y)}，则称f(x)为X上的拟凸函数。

(4)如果∀x，y∈X，x≠y，∀λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)

(5)如果∀x，y∈X，f(x)≠f(y)，∀λ∈[0，1]，都有f(λx+(1-λ)y)

在广义凸性的研究中，对于严格凸函数，条件(1)经常被使用。

条件(1)：∃λ∈(0，1)，∀x，y∈X，x≠y，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)。在文献[3-6]中函数f满足条件(1)，且f是上半连续或下半连续或凸函数，则f为严格凸函数。在条件(1)的基础上，本文研究更弱条件下，∀x，y∈X，x≠y，∃λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)成立的严格凸函数的几个性质。

对于半严格凸函数的研究，大量的参考文献主要集中于条件(2)。

条件(2)：∃λ∈(0，1)，∀x，y∈X，f(x)≠f(y)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)。

文献[3]表明，在条件(2)的基础上，无论f为凸函数或下半连续，f均为半严格凸函数。因此，本文研究在比条件(2)更弱的条件∀x，y∈X，f(x)≠f(y)，∃λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)下半严格凸函数的性质。

1 严格凸函数

引理1[7]若f：X→R为凸函数，且x，y∈X，x≠y，λ0∈(0，1)，使得：

f(λ0x+(1-λ0)y)=λ0f(x)+(1-λ0)f(y)

则f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y)∀λ∈(0，1)。

定理1 设f：X→R为凸函数，如果f满足条件∀x，y∈X，x≠y，∃λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，则f在X上是严格凸函数。

证明：用反证法，假设f在X上不是严格凸函数，也即∃x，y∈X，x≠y，∃λ0∈(0，1)，有f(λ0x+(1-λ0)y)≥λ0f(x)+(1-λ0)f(y)。

又因为f为凸函数，对上述x，y以及λ0∈(0，1)有f(λ0x+(1-λ0)y)≤λ0f(x)+(1-λ0)f(y)。

综上可知，对上述x，y，λ0∈(0，1)有f(λ0x+(1-λ0)y)=λ0f(x)+(1-λ0)f(y)。

由引理1可知，对上述x，y对∀λ∈(0，1)，f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y)成立。这与定理1的条件相矛盾，所以原命题正确。

推论1 设f：X→R满足条件∀x，y∈X，x≠y，∃λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，且f在X下半连续，则f在X上是严格凸函数。

证明：由文献[3](定理1.2.8)可知，f在X下半连续且满足条件(1)时，则f为凸函数，又因为满足推论1，则条件∀x，y∈X，x≠y，∃λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)必满足条件(1)，所以可知f为凸函数，又有定理1可知f在X上是严格凸函数。

推论2 设f：X→R为拟凸函数，且满足条件∀x，y∈X，x≠y，∃λ∈(0，1)，使得f(λx+(1-λ)y)<λf(x)+(1-λ)f(y)，则f在X上是严格凸函数。

证明：由文献[3](定理2.1.15)可知，f在X上为拟凸函数且满足条件(1)时，则f为凸函数，又因为满足……