刘 放，徐 航，宋世杰，吴 涛，邹逸鹏

（西南交通大学机械工程学院，四川成都610031）

随着600 km/h的高速磁悬浮列车的亮相，在未来磁浮交通将成为人们的另一种出行选择。目前，我国已建成并开通运营了长沙机场磁浮快线和北京地铁S1线两条中低速磁浮示范线路，太原、清远和成都等城市也正在规划建设中低速磁浮线路。中低速磁浮交通已进入产业化和工程推广应用的关键期［1］。

在现有磁浮建设中，磁浮轨排的铺设技术十分不成熟。例如：在河北唐山修建的1.5 km中低速磁浮试验线，其轨排安装采用的是传统起重设备，该方法作业效率较低，并且不适用于长距离及跨越桥梁时的轨排铺设工作［2］。因此，现阶段对磁浮轨排铺设装备的研究应提上日程。

国内外学者对磁浮轨排铺设装备研究较少，许金国［2］通过研究北京地铁S1线修建时的相关资料，分析了中低速磁浮轨道施工中的各个工况，完成了中低速磁浮轨排运驾车的整体结构及方案设计，并对该设备的强度进行了分析与计算。在车辆-桥梁及车辆-轨道耦合振动方面，国内外的学者有着较多的研究。姚成钊［3］建立了车辆-桥梁耦合振动系统，运用FORTRAN及ANSYSY分析了车辆在桥梁不平顺作用下的位移、速度及加速度响应，研究了车重、车距、车速等参数对振动的影响。叶尔肯·扎木提等［4］等建立了机车车辆耦合动力学模型，通过实验和仿真结果相对比验证了理论动力学模型的准确性。Li等［5］为了分析磁悬浮列车的影响机理，建立了中低速磁悬浮列车-轨道-桥梁系统的垂向动力耦合作用模型，研究了桥梁和F轨对系统耦合的影响。Liu等［6］提出了一个三维磁浮车辆-桥梁耦合系统线性随机振动分析的框架，该框架将磁悬浮车辆的运动、悬浮控制系统、桥梁的动力学行为和导轨不平顺性耦合起来，方便了相关问题的后续研究。Kim等［7］建立了一个详细的磁浮车辆-轨道耦合动力学模型，该模型包括了3D车辆模型、柔性轨道以及具有反馈控制器的悬浮电磁铁，对模型的失稳现象进行研究与分析。

上述研究的主要研究对象为汽车、传统轨道车辆及磁浮车辆，与轨、桥系统的耦合动力学。磁浮轨排铺设装备在磁浮轨道上行驶时也有类似的问题，但由于磁浮轨排铺设装备是一种新型设备，目前国内外鲜有在这方面的研究。因此，本文建立了磁浮轨排铺设装备-轨排轨道梁的动力学模型，对磁浮轨排铺设装备在轨排轨道梁上行驶时的相关动力学问题进行了研究与分析。

1 磁浮轨排铺设装备及轨排轨道梁结构

1.1 磁浮轨排铺设装备结构

图1为磁浮轨排铺设装备的结构示意图，设备主要由吊运小车（吊钩及行走小车机构）、主梁以及支腿等结构组成。一次可装载12 m轨排5个，单次起吊质量为4 t。

图1 磁浮轨排铺设装备结构Fig.1 Structure of maglev track laying equipment

1.2 轨排轨道梁结构

中低速磁浮轨排与轨道梁整体结构如图2所示，下方为轨道梁，轨道梁跨径为24 m，其截面如图2（b）所示，轨道梁上方有两个承载台，通过橡胶垫和连接扣件与方管枕梁相连，方管长为1.625 m，规格为0.2 m×0.2 m。位于方管枕梁之上的是磁浮轨排即F轨，单根F轨长为12 m，每个轨道梁上方有两个F轨，两F轨之间的距离为1.370 m，轨排轨道梁总高1.915 m，总宽2.120 m。

图2 轨排轨道梁结构Fig.2 Structure of maglev track beam

2 磁浮轨排铺设装备-轨排轨道梁动力学建模及数值仿真分析

2.1 建立动力学模型

分析系统的动力响应时，需要将整个系统抽象为力学系统，磁浮轨排铺设装备受到来自轨排的不平顺激励作为系统的输入，设备在其作用下产生振动。分析整个系统的受力情况，应用力学原理建立描述系统运动的数学模型。

磁浮轨排铺设装备-轨排轨道梁的动力学模型如图3所示。磁浮轨排铺设装备的前进方向视图如图3（a）所示，整体横向视图如图3（b）所示。

图3 磁浮轨排铺设装备-轨排轨道梁的动力学模型Fig.3 Dynamic model of maglev track laying equipment-maglev tr ack beam

系统的动力学模型基于以下假设：磁浮轨排铺设装备的刚度很大，故忽略其弹性变形，视为刚体；弹簧、阻尼元件的质量较小，产生的惯性力对整个系统振动影响极小，故忽略弹簧、阻尼的质量；只考虑车轮在垂直于轨道方向上的运动；磁浮轨排铺设装备左右对称；磁浮轨排铺设装备行驶时为匀速直线运动。

基于上述假设，利用达朗贝尔原理和虚位移原理推导系统的动力学方程。

车体垂向运动动力学微分方程：

左前悬挂垂向运动动力学微分方程：

右前悬挂垂向运动动力学微分方程：

左后悬挂垂向运动动力学微分方程：

右后悬挂垂向运动动力学微分方程：

式中：m0为车体的质量；m1为悬挂的质量；k1为下悬挂刚度系数；k2为上悬挂刚度系数；c1为下悬挂阻尼系数；c2为上悬挂阻尼系数；y0为设备的垂向位移；y1、y2、y3、y4分别为左前、右前、左后及右后悬挂的垂向位移；ẏ0为设备的垂向速度分别为左前、右前、左后及右后悬挂的垂向速度；ÿ0为设备的垂向加速度分别为左前、右前、左后及右后悬挂的垂向加速度；w1、w2分别为左、右侧轨排的不平顺高度值；g为重力加速度。

2.2 轨排不平顺激励

在磁浮轨道上运行时，受轨道随机不平顺激励的影响，磁浮轨排铺设装备会产生随机振动。一般采用功率谱密度描述平稳随机过程的轨道不平顺，从功率谱中可以明显地看出，组成成分中各波的特性以及不平顺的大小与频率的变化关系［8］。目前，由于没有具体的实测数据，国内外还没有统一的轨排不平顺功率谱。张耿等［9］对唐山低速磁浮试验线进行了测量，研究发现，轨排不平顺谱与德国高干扰谱类似。因此，选择德国高干扰谱作为轨排不平顺谱，其高低不平顺谱表示为式中：S(Ω)为轨排功率谱密度；Ω为轨排不平顺的空间频率；Ωc与Ωr为截断频率；Av为粗糙度系数。

对上述不平顺谱进行频域-时域转换，进行数值模拟，得到了左、右侧轨排的不平顺模型（如图4所示），左、右两侧的不平顺幅值均在-5～5 mm之间。

图4 轨排不平顺样本Fig.4 The samples of track surface irregularity

2.3 数值仿真

基于上述动力学方程，运用Matlab-Simulink模块建立了仿真分析模型如图5所示。

图5 Simulink仿真模型Fig.5 Simulink simulation model

仿真时分两种工况：①满载工况。磁浮轨排铺设装备在装运点将轨排装运上车，将轨排运送到轨排铺设点进行轨排安装作业。此工况下设备载有5个12 m规格的磁浮轨排，总质量为40 t，行驶速度为20 km/h。②空载工况。磁浮轨排铺设装备将所载的轨排安装完毕后，需驶回轨排装运点进行轨排装车作业，此工况下设备总重为20 t，运行速度为40 km/h。仿真时用到的动力学参数如表1所示。

表1 动力学参数Tab.1 Dynamics parameter

2.4 数值仿真结果

数值仿真得到的设备振动响应图如图6所示，图中展示了10 s内设备的垂向振动情况。曲线1为满载工况下的曲线，其振动范围在-2.01～2.08 mm之间，振动的均值为0.15 mm；曲线2为空载工况下的曲线，其振动范围在-1.23～1.79 mm之间，振动的均值为0.2 mm。两工况的振动范围均小于轨排不平顺幅值，且振动的剧烈程度明显小于轨排不平顺幅值，振动在可接受范围内，说明悬挂系统起到了较好的减振作用，使得设备能在磁浮轨道上相对平稳地运行。由于满载时的设备总重大于空载时的设备总重，因此，满载时的振动的波动范围大于空载时振动的波动范围。

图6 设备振动响应1Fig.6 Response of maglev track laying equipment vibration 1

3 磁浮轨排铺设装备-轨排轨道梁联合仿真分析

为了验证数值仿真结果的正确性以及研究轨排轨道梁的振动情况，选择用有限元和多刚体动力学软件联合仿真对系统进行再次分析。联合仿真的分析过程：先用有限元分析软件对轨排轨道梁进行柔性体模态仿真分析，得到其刚度矩阵、阻尼矩阵、质量矩阵以及各阶模态等相关数据；将得到的结果转换为多体动力学软件能够识别的格式，再将其导入到多体动力学分析软件进行动力学分析。

3.1 轨排轨道梁模态分析

采用ANSYS对轨排轨道梁进行模态分析，其动力学方程可表示为

式中：［M］、［C］、［K］分别为轨排轨道梁的质量、阻尼、刚度矩阵分别为轨排轨道梁的加速度、速度、位移及外力矩阵。

分析时，所求模态为自由模态，故取外力为零。阻尼对整体的振型影响较小，故取阻尼为零。得到轨排轨道梁无阻尼下自由振动方程：

轨排轨道梁的自由模态可以理解为若干个简谐运动的叠加，简谐运动可以表示为

式中：｛A｝为非零振幅的矩阵；ω为角频率；φ为初相位。

代入式（8）得

求解式（10）即可得到轨排轨道梁的固有频率及振型。轨排轨道梁的有限元模型如图7所示，模型共有单元22 306个，节点104 376个。轨排轨道梁的材料属性如表1所示。

图7 轨排轨道梁有限元模型Fig.7 Finite element model of maglev track beam

表2 轨排轨道梁材料属性Tab.2 Material properties of maglev track beam

对轨排轨道梁进行模态分析，提取了轨排轨道梁的前6阶模态如图8所示。分析可知，前6阶模态中，第1、3、5阶为横向振动，第2、4、6阶为垂向振动，振动频率在13.47～73.19 Hz，每1阶振动中垂向振动频率都高于横向振动频率，第1、2、3阶垂向频率分别高于同阶横向频率3.05、7.08、11.86 Hz，这说明轨排轨道梁的垂向刚度略好于其横向刚度，轨排轨道梁更容易发生横向的振动。

图8 轨排轨道梁整体模态及自振频率Fig.8 Modal and natural frequency of maglev track beam

3.2 联合仿真分析

在模态分析的基础上，选用多体动力学分析软件Simpack进行动力学仿真分析。系统刚柔耦合分析模型如图9所示，其中，轨排轨道梁为柔性体，表示为有限元模型形式。由于设备整体为刚体，模型的形状不会影响分析，图中将设备模型进行了简化处理。

图9 刚柔耦合动力学模型Fig.9 Rigid-flexible coupled dynamic model

3.3 联合仿真结果

联合仿真得到的设备振动响应图如图10所示，图中展示了10 s内设备的垂向振动情况。曲线1为满载工况下的曲线，其振动范围在-2.79～2.83 mm之间，振动的均值为0.14 mm；曲线2为空载工况下的曲线，其振动范围在-1.84～1.87 mm之间，振动的均值为0.19 mm。两种工况下设备的振动幅值均大于数值仿真的结果，这是由于联合仿真中将轨排轨道梁考虑为柔性体，其振动影响到设备在轨道上的运行。对比振动的均值，两工况下两种方法的均值相差均为0.01 mm，误差分别为6.67%和5.00%，可以得出两种仿真结果是正确的。

图10 设备振动响应2Fig.10 Response of maglev track laying equipment vibration 2

设备行驶通过时，轨排轨道梁跨中垂向位移变化的曲线如图11所示，曲线1为满载工况，曲线2为空载工况。可以看出，前0.2 s内，两工况的曲线几乎相同，满载工况时轨排轨道梁跨中垂向位移在2.34 s时达到最大，最大位移为4.24 mm，在6.78 s时收敛，收敛位移为2.72 mm；空载工况时轨排轨道梁跨中垂向位移在1.37 s时达到最大，最大位移为3.43 mm，在4.54 s时收敛，收敛位移为2.72 mm。由于自重，两种工况下的位移均收敛于2.72 mm，并未收敛于0 mm。

图11 轨排轨道梁垂向位移Fig.11 Vertical Displacement of Maglev Track Beam

由文献［10］可知，轨排轨道梁的变形许用值为

式中：L为轨排轨道梁的跨度。

计算可得，24 m的轨排轨道梁的许用最大变形量为6.32 mm，两种工况下的仿真结果均小于6.84 mm，符合设计规范的规定。

轨排轨道梁的振动是设备在轨道上行驶时设备的振动引起的，从设备的频域振动曲线中即可得到设备是如何引起轨排轨道梁振动的。对设备振动响应的时域数据进行傅里叶变换得到振动频域响应数据。振动频域图如图12所示，曲线1为满载工况，曲线2为空载工况。两种工况频率组成大致相同，但满载工况的各频率幅值普遍大于空载工况，两种工况下振动的优势频率均在25 Hz以内，满载工况下振幅大于0.1 mm的频率有5.49、13.43、15.87、20.75、21.97 Hz，空载工况下振幅大于0.1 mm的频率有5.49、14.04、17.09、20.75、21.97 Hz。而轨排轨道梁的1阶横向、垂向自振频率为13.47 Hz和16.52 Hz，与两种工况优势频率中的13.43、15.87、14.04、17.09 Hz 4个频率相接近。因此，在磁浮轨排铺设装备行驶时，轨排轨道梁的振动主要为1阶横向或垂向的振动。由于2阶及以上的横向、垂向振动频率较大，所以不容易产生对应的振动。

图12 设备振动频谱Fig.12 Maglev track laying equipment vibration spectrum

4 结论

本文建立了磁浮轨排铺设装备-轨排轨道梁的动力学模型，根据动力学模型，分析得出了系统的动力学微分方程，对轨排不平顺频谱进行了选择，并处理得到轨排不平顺时域曲线，运用Matlab-Simulink模块对两种工况下的模型进行了数值求解。运用有限元分析软件ANSYS与多体动力学软件Simpack联合仿真对磁浮轨排铺设装备-轨排轨道梁的动力学模型进行了分析，得到了轨排轨道梁的前6阶模态、设备及轨排轨道梁的振动幅值曲线，以及设备的振动幅值频谱。分析仿真结果得出：设备的悬挂系统很好地将设备振动控制在可接受范围内，使得设备能够稳定运行于磁浮轨道之上；由于联合仿真将轨排轨道梁考虑为柔性体，联合仿真得到的两种工况下的设备振动幅值均大于数值分析的结果，但振动范围及均值相差较小，说明仿真结果是正确的；上两种工况下轨排轨道梁的垂向位移最大值均小于规定值，符合设计规范的规定；分析轨排轨道梁的各阶模态及设备振动的频谱，得到设备在两种工况下行驶通过轨排轨道梁时，轨排轨道梁容易发生1阶横向和1阶垂向的振动。