赵加营

数学建模是数学六大核心素养之一，是高中数学课程的重要内容，在高中数学教学中占有重要地位。在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“2017年版课标”）中“数学建模”的各项内容、要求见文末表1。由此可见，2017年版课标在数学建模的“课时学分、内容要求、教学提示、学业要求”等方面提出了具体、明确的指导意见，为落实新课程、实施新教材指明了教学实践路径。

表1 数学建模的课标要求

此外，2017年版课标在附录部分还对数学建模素养做了三个水平的划分（限于篇幅，这里不再列出），这也为我们开展数学建模教学提供了依据。下面结合苏教版高中数学新教材必修一、必修二的教学，谈谈高中生数学建模素养的培养。

一、加强数学建模教学

笔者曾设计相关数学建模测评试题（见附录）来评价学生的数学建模素养，从测评结果看，学生在水平三上处于很低状态。因而，重视数学建模素养的培育，把数学建模教学常态化，是刻不容缓的现实要求。为此，我们需要做到如下两点。

首先，保障课时。依据新教材中提供的素材，参照2017年版课标的课时安排，确保数学建模教学课时到位。如必修课程中“主题五数学建模活动与数学探究活动”建议6课时，在实际教学中，“数学建模活动”应安排5课时，具体见表2。

表2 必修课程数学建模教学课时（建议）

其次，要精心设计教学。数学建模的教学准备往往要比其他教学内容花费更多时间，需要从问题背景、概念内涵、数据分析、其他学科知识等多方面查阅资料，为问题简化提供基础。在原有的数学建模水平一和水平二的教学实施基础上，应特别重视水平三的教学设计和操作实践。教师需精心设计熟悉的、关联的、综合的情境，引导学生发现和提出问题，建立合适的数学模型，准确求解模型，自觉检验模型，进而完善模型，最终分析和解决问题。教师应帮助学生积累数学建模的策略，掌握模型思想，提升解决问题能力，不断发展数学建模素养。

例如，必修一关于“体重与脉搏”的问题中只给出“动物消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比，动物的体重与体积成正比”的信息，备课时要查阅资料，拟出问题：①什么是血流量？什么是脉搏率？②心脏每次收缩挤压出来的血量与心脏大小的关系？③动物心脏大小与这个动物体积的关系？④动物体内消耗的能量与身体的表面积的关系？⑤动物表面积与体积的大致关系？⑥如何在Excel中进行数据拟合？如何找到最优拟合函数？

实施本课题教学时，需从课前、课中、课后三个环节进行精心安排。

课前：让学生查阅纸质资料或电子资源，搞清以上①至⑥问题，会在Excel中作出数据的散点图，会用“添加趋势线”寻找拟合函数。

课中：出示问题，引发思考，引导学生按照“简化假设、建立模型、求解模型、检验结果”的步骤逐一完成。

课后：回顾与评价本次建模过程，总结体会其中要点，掌握重点步骤，消除难点，解开疑点，积累建模经验。例如，构建数学模型时，若所给数据较大，可以对已知数据取对数，从而使变换后的数据“均匀”，有利于发现趋势或规律。

二、开展数学建模活动

认真实施新教材的设置内容，充分保障新教材中“数学建模活动”的教学课时和训练学时，确保数学建模教学进入常态化，改变原来为应试而进行的零散、偶然、短暂的应用题教学现象。

组织学生开展数学建模的选题、开题、做题、结题活动，结合数学教学软件（如几何画板、Geogebra、Cabri 3D等）、“互联网+”等教育信息技术，开展数学实验、现场操作、实际体验、合作探究等研究活动。例如，学习“数列”后，进行存款利息、按揭贷款、理财产品等数列模型构建活动；学习“解三角形”后，进行旗杆、教学楼、电视台等高度测量活动，体验三角形模型的应用；学习“函数”后，进行一次、二次、反比例、幂、指、对、三角等函数模型构建活动；综合运用所学知识，对超市商品价格、路线最优设计、效益最大化、能耗最小化等问题进行建模活动。总之，将数学课堂之中的数学建模活动（侧重于水平一水平二的目标）和课堂之外的建模操作活动（侧重于水平三的目标）结合起来，让学生体会数学的有用、有趣、有美、有神，既提升兴趣、增强动力，又训练思维、培育素养。

三、积累数学建模课程资源

首先，深入研究新教材中有关数学建模的例题、习题，除涉及相关知识点外，充分挖掘其蕴含的数学思想、数学文化、模型结构，精心设计教学内容，做好反思评价，积累课本中的数学建模资源。在研究教材中数学建模素材的基础上，做好这些问题的拓展工作，充分发挥教材例题习题的辐射功能和母题功能。

其次，认真研究2017年版课标及“课标解读”中数学建模案例，将这些案例融入数学建模的教学中，特别是体现水平三的建模问题，根据模型系列，归纳梳理，形成数学建模资源。

最后，从数学期刊、数学应用与建模专著、数学应用竞赛、大学建模竞赛中，或直接引用，或改编改造，或简化移植，作为数学建模教学的资源。

将以上的建模教学资源，按照模型类别或教学时序，编辑成册，形成具有本校特色的数学建模校本课程，不断积累、修改、完善，为数学建模素养的达成提供课程保障。

附录

测试题1（数与代数）

（1）（由《中学数学应用与建模》第80页例8改编；水平一，记为Q11）

长为180cm的铜棒，要截成10段材料，规格是12cm，23cm两种，每种规格都要有，试找出材料利用率在95%以上的落料方案。

（2）（由《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》第103页“水平二的问题”改编；水平二，记为Q21）

一个容积一定的无盖圆柱形罐，它的底面半径为r，高为h，问当h∶r为多少时，罐的表面积最小？

（3）（由《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》第103页“水平三的问题”改编；水平三，记为Q31）

我们经常能在超市中看到这样的情形：同种商品会有大小不同的型号，价格各不相同，比如某品牌的牙膏有40g，120g，180g等几种质量规格的产品，价格分别为3.70元，9.30元，13.20元。试对影响商品销售价格的因素进行分析，选择主要因素，忽略次要因素，研究主要因素与价格的关系，从而得到商品价格关于牙膏质量的函数关系。

测试题2（图形与几何）

（1）（2010年江苏高考试题第17题第1问，水平一，记为Q12）

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），垂直放置的标杆BC的高度h=4m，点A、B在地平面上，EC与AB相交于点D，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20。请据此建立几何图形，并算出H的值。

（2）（水平二，记为Q22）

墙上有一壁画，最高点离地面4米，最低点离地面2米，观察者从离地面高1.5米处观赏该壁画，问：观察者离墙多远时，眼睛观察壁画上下沿形成的视角最大？你能利用几何知识作出观察者的位置吗？

（3）（水平三，记为Q32）

电影作为一种消费，人们总是希望自己能坐在电影院的最佳位置，使得视觉、听觉得到最好的享受。在设计影院时，已经充分考虑了观众看电影的舒适度，对于影院的地板倾角、前后排椅子之间的距离等都经过了精心的设计。而尽管如此，不同位置看电影肯定也有很大差异，什么位置是看电影的最佳位置呢？试建立数学模型分析。

测试题3（概率与统计）

（1）（由《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》习题2.4第10题改编，水平一，记为Q13）

某城市平均每10个家庭中2个家庭有小汽车。若从这个城市中任意选出5个家庭，试求2个以上（包括2个）的家庭有小汽车的概率。

（2）（水平二，记为Q23）

某高级中学要调查学生谈恋爱的比例。设计了一副纸牌，其中75张印有问题①，25张印有问题②，两个问题为：①你谈过恋爱吗？②你学生证末位号码是偶数吗？

调查100名学生，让被调查学生任意抽取1张牌（随即放回，并不让调查者知道被调查者抽到的问题，以保证被调查者给出真实的回答），学生根据牌上所对应的问题用“是”或“否”加以回答。若有18人回答“是”，学生证末位号码是偶数的概率为0.5。请估计该校学生谈过恋爱的人数的比例。

（3）（由《生活中的概率趣事》第92页问题改编，水平三，记为Q33）

某市的出租车共有3200辆，其中蓝色的有2720辆，绿色的有480辆。在一起晚上发生的肇事逃逸案中，目击者确认肇事出租车是绿色的，实验证明目击者在晚上正确分辨绿色和蓝色（正确地将绿色归为绿色，蓝色归为蓝色）的概率是80%。如果你作为法官，会采纳目击者的证词吗？请从数学角度说明理由。