叶玉兰

解三角形作为近几年高考的热点题型，通常考查学生运用正弦定理，余弦定理求解三角形的边，角，周长，面积和最值问题。本文以一道高考题为例，多视角剖析解三角形的求解策略，提出解后思考促进教与学的工作。

一、真题呈现

（2021·全国高考真题）记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b²=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）证明：BD=b;（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

二、总体分析

这道题满分12分，广东省平均分约为4.8分，约有85%的同学没能从（2）问得分。这道题（1）问是证明，考查正弦定理的边角互化的功能，体现等量代换的数学思想。（2）问是在斜三角形的背景下求角的问题，可以从常规视角运用正弦定理，余弦定理的工具，建立边或者角的方程求解;可以联系初中平面几何的相似三角形进行求解;可以从向量的角度分析求解;也可以从坐标法出发分析求解;部分学生还使用施特瓦尔特定理进行求解，这里不作详细介绍。由此可见，这个题入手低，思路多是高三复习的一道经典好题。

三、解法探究

下面第（2）问从多个视角体会设计者的独到匠心。

视角1：常规视角

在多个三角形背景下求解cos∠ABC，可以直接求出a，b，c的值或者找到a，b，c的两个等量关系进行消元进行求解，题目的条件b²=ac可得一等量关系式而另外一个等量关系式如何寻找？可以通过多个三角形的角度互补，互余或者相等关系运用正弦定理或余弦定理建立。

评注：构造相似三角形，通过角度关系得到余弦定理的等量关系符合学生学习的就近发展区，培养学生综合运用知识的能力。……