纪历，普月，陈震民，魏凯龙

(1.河海大学 能源与电气学院，南京 210098；2.浙江中源磁悬浮技术有限公司，杭州 310011)

0 引 言

磁悬浮高速电机，即磁悬浮轴承支撑的高速电机的转速高达10 000 r/min以上，可以直接与高速原动机或工作机相连，从而取消了原有的增速/减速机构，大幅提高设备效率。同时，其具有很高的功率密度，体积远小于同等功率的常规电机，能够有效的节约材料。此外，磁悬浮轴承使定转子之间无接触、无摩擦，不需要润滑系统，可降低维护成本并延长电机寿命。使用磁悬浮高速电机替代高速透平机械(如鼓风机、压缩机、燃气轮机等)中的常规驱动电机或发电机，开发“直驱式”的结构能够提升设备效率10～15%，具有重大的经济价值，对于发展我国高端制造业以及提倡低碳环保的国家政策都具有重要意义[1-4]。

磁悬浮转子在高速旋转时由于质量不平衡力的激励将产生较大的同频振动[5]，大量的文献针对这一现象进行了研究，并提出了抑制同频振动的补偿方法[6-10]。然而，在实际设备运行中，磁悬浮转子在高速旋转时除了与转速同频的振动外，常伴随有与转速及转子固有频率无关的低频振动。文献[11]认为该低频振动由磁悬浮系统中的非线性引发，文中认为非线性将会使得低频增益下降，导致系统不稳定。针对磁悬浮系统的非线性振动问题，文献[12]研究了非线性电磁力作用下，几何耦合参数对磁轴承柔性转子运动的影响。文献[13]考虑涡流效应对电磁力的影响，建立磁悬浮转子的动力学模型，分析转子的频率响应。文献[14-15]对磁悬浮轴承的分岔行为进行了分析，研究了系统中存在的分岔、跳跃、多值响应和较大的初值敏感性。

本文针对磁悬浮转子高速旋转时出现低频振动的现象进行研究。建立了磁悬浮控制系统各环节的非线性模型，分析了其导致低频振动的机理，并基于描述函数及扩展奈奎斯特判据方法分析了含有非线性环节的磁悬浮系统的稳定性。文中通过仿真与试验对得出的结论进行了验证，所得结论能够为磁悬浮技术在高速电机中的应用提供理论依据。

1 磁悬浮转子系统的数学模型

在磁悬浮系统的控制中，通常将各个环节简化为线性系统进行分析，其线性化后的控制框图如图1所示。

图1 磁悬浮转子线性化控制系统的控制框图Fig.1 Linear model of maglev stator-rotor control system

图中磁悬浮控制系统主要由控制器、功率放大器、磁悬浮转子、位移传感器4个部分组成，其中Gc(s)为控制器，在磁悬浮电机的工业应用中最为常用的是PID控制器，PID是一种经典的线性控制方法，其数学模型为

(1)

式中：KP、KI、KD表示比例、积分、微分系数，Tf为不完全微分环节的时间常数，用来滤除信号中的噪声，避免微分环节过度放大系统中的噪声。

磁悬浮控制中通常采用开关功率放大器[16]实现对励磁电流的控制，开关功率放大器是典型的非线性设备，其工作过程会引入大量的高次谐波。但由于励磁线圈及磁悬浮转子系统本身具有较大惯性，高频谐波电流对系统影响较小，因此在设计控制系统时通常将其简化为一个线性的增益KA。

磁悬浮转子是系统中的被控对象，可根据磁悬浮轴承-转子的结构推导出悬浮力与励磁电流及转子位移间的关系从而得到其数学模型，由于电磁力的非线性及结构上的耦合，磁悬浮转子是一个高阶的非线性系统，但对于刚性转子通常将其简化为一个SISO的线性模型，即

(2)

式中：m为转子单端的等效质量；Ki为电流刚度；Kx为位移刚度。

转子的振动量由传感器检测并转换为电压信号用于反馈控制，该环节用增益Ks来表示，通常情况下传感器及其检测电路带有低通滤波器，可以由一个一阶惯性环节来描述。

从以上的模型中可以看出，在磁悬浮控制系统当中，非线性主要由开关功率放大器及磁悬浮轴承-转子系统引入，此外由于功率放大器的输出能力有限，在控制系统当中需要加入限幅环节，限制输出电流的大小，这也导致非线性的因素之一，主要从这3个方面进行分析。

1.1 功率放大器的数学模型

磁悬浮控制系统中最为常用的功率放大器是基于H桥的三电平变换器[16]。其主电路拓扑结构如图2(a)所示，其中主电路由电压源E、开关管S1～S4及负载组成。S1(S2)与S3(S4)互补导通，其负载等效为L和R串联的形式。根据S1～S4不同的开关情况，该变换器有3种工作状态：

图2 H桥三电平变换器拓扑结构及开关时序Fig.2 Topology diagram and timing diagram of H bridge three level converter

状态1：开关S1与S4导通，S2与S3关断，此时变换器输出电压E，负载电流上升；

状态2：开关S2与S3导通，S1与S4关断，此时变换器输出电压-E，负载电流下降；

状态3：开关S1与S2导通，S3与S4关断或开关S3与S4导通，S1与S2关断，此时变换器输出电压为零，负载电流通过开关管与二极管续流。

变换器在每一个控制周期中包含两种开关状态，以输出正电压，负载电流上升过程为例。其调制原理如图2(b)所示，图中uT+、uT-为一组幅值与频率相同、相位相反的三角载波，uin为控制器输入的控制信号，ug1、ug4分别表示开关管S1与S4的驱动信号。

控制信号uin分别与两个三角波进行比较，当uin大于uT+时ug1输出高电平S1开通，当uin大于uT-时ug4输出高电平S4开通，反之S1、S4关断。根据图2(a)主电路结构以及图2(b)中的开关时序图，此时变换器包含状态1与状态3两种开关状态，对负载输出等效的正向PWM电压。将控制信号与载波信号做归一化处理，即uTmax=1、uTmin=-1、uin∈[-1,1]、占空比d=|uin|，则可以推导出该H桥变换器的输出模型如下：

(3)

基于H桥变换器设计电流环控制电路，其原理通过互感器检测励磁电流，并与参考电流做差，该差值通过比例积分控制器产生控制信号经PWM调制和驱动电路控制H桥变换器中4个功率管的通断，输出适当的电压使负载电流跟踪参考电流，其控制框图如图3所示。

图3 功放电流环控制系统结构图Fig.3 Current loop control system structure

图中：KV为变换器的等效电压放大倍数；Km=1/R，β为电流反馈系数；Tli=L/R为负载的时间常数；Ti为数字延时等效的小惯性环节时间常数，其中Ti=1/f，f为变换器的工作频率。电流环采用PI调节器进行校正，KP、γi分别为电流调节器比例系数、积分时间常数。

通过图3系统可以推导出功率放大器的数学模型，相比图1中用KA来等效功放环节有更高的准确性，更进一步用式(3)替代等效电压放大倍数KV，则可以得到功放的非线性模型。

1.2 磁悬浮轴承-转子系统的数学模型

图4展示了典型的8极电磁式磁悬浮轴承-转子的截面示意图，其中x、y方向各有一对差分的电磁铁控制转子在一个平面内的运动。

图4 磁悬浮轴承-转子截面示意图Fig.4 Cross-section of the magnetic levitation stator-rotor

如图所示，8个磁极向转子施加的电磁力沿法线方向向外，忽略铁磁材料的磁阻，其幅值为

(4)

式中：μ0为真空磁导率；A为每个磁极的面积；N为每个电磁铁线圈的匝数；I为线圈中的电流；δ表示磁极与转子之间的气隙。其中每个励磁线圈中的电流及每个气隙的大小如下：

(5)

(6)

式中δ0与I0为平衡位置的气隙及磁悬浮轴承的偏置电流。

将式(5)、式(6)代入式(4)得到每个磁极对转子的电磁力，并根据图4中的结构与磁悬浮系统的工作原理，得到转子在x、y方向受到的合力为：

(7)

从式(7)可以看出，转子受到的电磁力与励磁电流及转子位移呈非线性关系，且在x与y方向存在耦合。若将式(7)在平衡位置(x=0,y=0,ix=0,iy=0)处作泰勒展开，并略去二阶以上小量得线性化后的电磁力表达式：

(8)

对比式(8)与式(7)可以看出，通过简化，电磁力中非线性的部分及x与y方向的耦合完全被忽略，进一步可通过式(8)推导出式(2)的形式，得到线性化的磁悬浮轴承-转子系统传递函数。

1.3 输出限幅环节的数学模型

由于功率放大器的输出能力有限，在实际系统中需要对控制器的输出增加限幅环节，其原理如图5所示。

图5 功率放大器限幅环节原理示意图Fig.5 Schematic diagram of the amplitude limiter

由于引入了限幅环节，当磁悬浮轴承控制电流超过最大阈值时，系统的输入输出将表现出一定的非线性，可以通过描述函数的方法建立该环节的数学模型。

当该环节的输入为正弦信号i(t)=Asin(ωt)时，其输出i′(t)为奇函数，且在四分之一个周期内对称，其表达式为

(9)

对非线性环节的稳态输出进行谐波分析，将其展开为傅里叶级数形式

(10)

其中：

由于限幅后输出仍然为奇函数，所以An=0，而i′(t)又为半周期内对称，故

(11)

忽略一次以上的谐波分量，可得限幅环节的非线性描述函数，表示为

(12)

考虑非线性因素后，磁悬浮控制系统可以变化为该非线性环节N(A)与原有部分串联的形式。根据描述函数分析非线性系统稳定性的原理，若开环幅相曲线ΓG包围-1/N(A)曲线，则对于非线性环节具有任一确定振幅A的正弦输入信号，系统不稳定。因此，按照表1中的参数绘制系统的奈奎斯特曲线及非线性环节曲线，如图6所示。

图6 考虑限幅环节的磁悬浮系统稳定性判据Fig.6 Stability criteria for the nonlinear control system

表1 磁悬浮高速电机的主要参数Table 1 Parameters of the magnetic levitation motor

根据图6以及扩展奈奎斯特判据的原理，开环幅相曲线ΓG与-1/N(A)曲线相交，且-1/N(A)曲线沿振幅A增加的方向由不稳定区域进入稳定区域。可以得出结论，当励磁电流的幅值超过限幅范围后，系统将发生自激振荡，而振动频率应在17 rad/s附近。

2 仿真分析

文中在MATLAB/Simulink中建立了磁悬浮控制系统的仿真模型，模型的主要参数如表1中所示。为验证各非线性环节对低频振动的影响，建立了如图1所示的全线性化模型以及基于式(3)、式(7)的非线性模型，并对比了不同激励下的转子振动情况，如图7、图8所示。

图7 励磁电流未饱和时磁悬浮转子振动波形及频谱分析Fig.7 Simulation waveforms &spectral analysis of magnetic suspension rotor without current saturation

仿真中，对磁悬浮控制系统施加一个频率为430 Hz的激振力，首先验证功率放大器及电磁力非线性对振动的影响，因此施加的激振力幅值较小，输出电流未达到限幅阈值。图7(a)、7(b)展示了线性模型及非线性模型中转子振动的波形及其频谱分析，可以看出，两个模型的输出结果中都只体现出了与转速同频的振动量，且振动的幅值基本相同。功率放大器及电磁力的非线性并未对转子的振动产生较大的影响。

改变激振力的幅值，致使两个模型的控制电流都出现饱和情况，得到的结果如图8所示，其中图8(a)为使用线性模型仿真时转子振动的波形及其频谱分析，图8(b)为使用非线性模型的情况。

图8 励磁电流饱和时磁悬浮转子振动波形及频谱分析Fig.8 Simulation waveforms &spectral analysis of magnetic suspension rotor with current saturation

从图8的仿真波形中可以看出，在控制电流饱和的情况下，除了430 Hz的同频振动量有所增大外，图8(a)线性模型与图8(b)非线性模型都出现了相同频率(6.5 Hz)的低频振动，其中非线性模型中该低频振动的幅值大于线性化模型。通过以上两个仿真(图7与图8)可以看出，限幅环节的引入及控制电流的饱和是导致磁悬浮转子发生低频振动的主要原因。

3 试验研究

为验证理论分析的正确性，文中以一台100 kW的磁悬浮永磁电机(图9)为对象进行了试验研究。

图9 100 kW磁悬浮高速电机Fig.9 100 kW high-speed magnetic levitation motor

对该磁悬浮电机进行升速试验，随着转速的上升，转子受到的不平衡力逐渐增大，导致控制电流随之上升，至430 Hz时，控制电流饱和，此时转子的振动波形如图10所示。从图中可以看出，除了与转速同频的振动外，转子还表现出了较大的低频振动，通过频谱分析，该振动的频率在5 Hz附近，试验波形与仿真的结果十分接近。通过示波器读出该通道转子振动的峰峰值为880 mV，对应传感器的灵敏度为20 000 V/m，此时转子的振动量约为44 μm。

图10 励磁电流饱和时磁悬浮转子试验波形及频谱分析Fig.10 Vibration waveforms &spectral analysis of magnetic suspension rotor with current saturation

通过在转子上配置不平衡质量的方法，将转子的不平衡质量由167 mg修正到37.4 mg，调整不平衡力至一个较低的水平，后升速至430 Hz，此时控制电流未达到限幅阈值，对比转子的振动波形如图11所示。可以看出当控制电流未出现饱和时，磁悬浮转子只表现出了与转速同频的振动，原先5 Hz附近的低频振动完全消失，与仿真得到的结果基本相同。此时转子波形的峰峰值为480 mV，对应振动量24 μm，远小于出现低频振动时的水平。

图11 励磁电流饱和时磁悬浮转子试验波形及频谱分析Fig.11 Vibration waveforms &spectral analysis of magnetic suspension rotor without current saturation

4 结 论

本文研究了磁悬浮电机高速旋转时出现低频振动的现象及其产生机理。文中建立了磁悬浮系统各环节的非线性模型，并基于描述函数及扩展奈奎斯特判据方法分析了含有非线性环节的磁悬浮系统的稳定性，并通过试验对理论分析的正确性进行了验证。通过研究本文可以得到以下结论：

1)仿真及试验证明，当磁悬浮电机高速旋转时，除同频振动外，转子还有可能产生与转速无关的低频振动；

2)基于描述函数及扩展奈奎斯特判据方法证明当励磁电流的幅值超过限幅范围后，系统将发生低频的自激振荡；

3)仿真分析证明该低频振动与系统中的非线性因素有关，其中控制电流饱和与限幅是导致该低频振动的主要原因。