黄 磊

(江苏省泰兴市济川中学教育集团阳江校区 225400)

面对一些“直线型”图形问题，如果忽视图形的几何特征，直接解答往往会增加出错的可能.但是，如果注意挖掘和利用其中的一些隐藏条件，巧作“辅助圆”，往往能简便地解决问题.

一、问题引入，对中考题四种解法的教学反思

泰州中考数学卷案例：第25题.已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC.若点P在线段AB上，如图1，设AB=a,BP=b.当EP平分∠AEC时，求a∶b及∠AEC的度数.

图1

本题当年中考得分率较低，主要失分点是有好多同学第一问就求不出a：b，或者在求出a：b后，绝大多数考生被卡在第二问“求∠AEC的度数”上.

第一种：考卷参考答案的解法.

图2

教者评析此解法综合运用了等腰三角形的性质定理、角平分线性质定理的逆定理，及相似三角形和正方形的性质等，但过程繁琐，考生拿到题目也不容易想到辅助线的作法.

第二种：所教学生的解法.

教者评析此法在求∠AEC的度数时，综合用到正方形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等.

第三种：所教学生的解法.

∵PE∥CB,∴∠PEG=∠BCE=22.5°.

∴∠AEG=2∠PEG=45°

教者评析此法综合用到三角形外角的性质、等腰三角形性质定理、平行线的性质.

第四种：笔者的解法.

同样先连接BE.

教者评析总结反思上述4种解法，对比之下发现最简洁的思路还是解法4.

二、“辅助圆”应用的情境分析

1.江苏常州中考数学模拟卷案例一

如图3，直线y=x+b(b>0)与x、y轴分别相交于A、B两点，点C(1，0)，过点C作垂直于x轴的直线l，在直线l上取一点P，满足P……