申婵 孙峣 崔洪军

(1.河北工业大学 土木与交通学院，天津 300401；2.天津市市政工程设计研究院，天津 300051)

2019年12月，新型冠状病毒肺炎爆发，极大地影响了城市的正常运转。虽然目前已经得到了控制，但依然对我国的经济社会发展和城市居民生活造成极大的影响。从2020年3月开始，全国各个城市逐步复工复学，城市公共交通系统也面临着诸多挑战。一方面，城市公共交通作为疫情防控工作的基础保障，在突发疫情下应采取非常态的交通管理措施，对疫情防控起到积极的作用；另一方面，疫情导致大量城市的公共交通系统处于非常态的运营状况，客运量远低于正常水平。复工复学后，公共交通又经历由非常态逐渐向常态转变的过渡时期，因此适当合理的应对措施，不仅能够保障通行的可靠性，同时使运营经济合理，提高系统的可持续性，增强城市交通系统的韧性。

实时预约定制公交[1- 3]因其特有的灵活性，在应对非常态的交通系统具有常规公共交通所不具备的优势。实时预约定制公交可提供实时的预约服务，公交车辆的运营时间、路径由出行调度中心根据乘客预定的需求来优化决定。因此，实时预约定制公交可根据疫情的需求，对公交线路、停靠站点及上座率等进行实时调整，既能满足特殊线路乘客的需求，又能对疫情防控起到积极的作用。而常规公交，其线路稳定、站点固定、票价经济的特点，也是定制公交无法取代的优势。因此在非常态的交通状况下，如何将两种出行方式有机地结合起来，是本文要研究的重点内容。

疫情对城市公共交通的考验，引发了学者们的关注。李爽等[4]考虑突发公共卫生事件带来的影响，构建了能够承载各种交通方式，保障人、物高效流动的城市综合立体交通网络，提高了城市交通系统抗击风险的能力。苏跃江等[5]从运营管理和政策机制方面提出对策建议，构建了对外交通和城市交通的区域协同防控机制以及信息化协作平台等。阚长城等[6]根据疫情期间公共交通系统运营状况与正常情景存在的较大差异，提出了疫情时期城市公共交通系统运营优化的策略建议。

目前已有许多针对常规公交的线网规划[7- 10]和定制公交的线网规划[11- 14]的研究。而针对不同公共交通方式之间的协同，很多学者就轨道交通突发应急状态下地面交通的接驳做了深入的研究。徐婷等[15]对快速公交与地面常规公交进行了分类讨论，认为应对城市道路网络多模式公交线网进行优化，并构建了以公交运行成本最小、居民平均出行时间最少为优化目标的多目标公交线网优化模型。潘义强[16]针对单点式突发中断和多线式突发中断，综合考虑乘客的出行时间成本及公交运行成本，建立了非线性优化模型来求解调度方案。邓连波等[17]针对公交接驳线网优化问题，分析了换乘网络上乘客出行费用，建立了需求可拆分条件下的接驳线网优化模型。

上述研究主要是对疫情下的公共交通管理策略和运营手段进行探讨。在多方式协同研究中，主要探讨了轨道交通与地面交通的接驳问题。在新型冠状病毒肺炎疫情下，为更好地防控疫情，同时满足各种乘客对出行的需求，本文综合了常规公交的价格优势和定制公交的直达优势，提出了疫情防控下城市常规公交与定制公交的协同优化方法。

1 问题描述

城市地面公共交通考虑常规公交和定制公交两种出行方式。常规公交按照既定的发车时刻表，往返于固定的线路和站点之间；定制公交没有确定的发车时刻表，根据乘客实时需求，开通定制公交线路，中途仅停靠少量站点，并可以灵活选择线路。定制公交是常规公交的一种特殊形式，对提升城市公共交通服务水平、提高公交分担率及处理突发事件的效率等具有重要的作用。

疫情传播安全风险是具有一票否决式的红线，作为常规公交和定制公交协同优化研究的底线约束。当疫情爆发时，为保障乘客的出行安全，常规公交和定制公交均设定载客的安全阈值。此时，疫情传播的风险主要来自乘客上下车活动产生的短暂近距离接触。考虑疫情的区域风险等级和公共交通线路的重要程度，首先判断是否取消常规公交线路，得到初始常规公交开通线路的集合；建立常规公交和定制公交协同优化的目标函数，以安全风险、运营商和乘客总成本最小化为目标，设计开通定制公交线路，得到最优的定制公交和常规公交协同设计方案。常规公交与定制公交的协同优化流程图见图1。

图1 常规公交与定制公交的协同优化流程图

2 常规公交与定制公交的协同优化模型

2.1 运行网络的建立

建立经典Sioux Falls网络，如图2所示。网络中的节点表示公交站点，节点间的连线表示路段，连边的权重表示站点间的距离；不同底色代表风险程度。网络可用有权图G=(V,E,W)表示，其中V为点集合，E为边集合，W为边的权重集合。

图2 线路网示意图

2.2 模型假设

为了进一步体现模型特点和便于求解，本文做出如下假设：

(1)定制公交和常规公交均从始发站发出；

(2)常规公交和定制公交数量足够多，开通与否综合考虑成本效用；

(3)乘客的出行需求已知，需求分布在站点上，每个出行需求只对应一个上车地点和下车地点，不考虑乘客时间窗[18- 19]和换乘的情况；

(4)疫情传播仅与上下车活动有关，在保证乘客未超过车辆载客阈值的情况下，不会发生接触传播的情况；

(5)定制公交中途最多可停靠2个站点，常规公交没有站点停靠限制，且定制公交的运营能最大限度地减少疫情传播。

2.3 协同优化模型的构建

本文综合考虑社会、公交运营商和乘客三方成本(社会成本主要指疫情传播的安全风险，公交运营商成本主要指车辆运营成本，乘客出行成本主要指乘车票价成本和损失成本)，建立考虑安全风险成本、运营商成本和乘客出行成本总和最小的目标函数。

2.3.1 安全风险成本

安全风险成本C1主要考虑疫情传播对人的生命健康造成的安全风险成本。本文将安全风险成本设为红线目标，即不允许发生公共交通疫情传播的情况，因此，在模型中引入了极大值M，具体公式如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

进一步指出，式(1)中目标函数C1≤0或取得极大值。当函数为极大值时表示风险极大，显然无法计算出最优目标函数；当C1≤0时，随着取值的增加，表示安全风险的增加。

2.3.2 运营商成本

运营商成本C2主要考虑运营成本，本文考虑燃油费用成本和车辆折旧、维修、司机工资等有关的公交车辆的附加成本。运营商成本的目标函数为

(5)

(6)

式中：T为一个运行周期；hk为线路k的单程运行时间；lk为线路k的运行线路长度；β燃油为单位里程燃油成本(元)；β附加为车辆运行的平均附加成本(元/辆)；xk为0-1决策变量，表示线路k是否开通。

2.3.3 乘客出行成本

乘客出行成本C3考虑乘客的票价成本和损失成本，损失成本表示未被车辆服务的乘客的损失。乘客出行成本的目标函数为

(7)

(8)

式中：β1和β2分别为常规公交和定制公交的票价费用；N为乘客集合；yn,k为0-1变量，表示乘客n能否被线路k服务，若被服务则为1，否则为0；α2为未被服务乘客的单位惩罚成本。

2.3.4 整合目标函数

考虑安全风险成本、运营商成本和乘客出行成本总和最小的目标函数为

minZ=φ1C1+φ2C2+φ3C3

(9)

其中，φ1、φ2、φ3用来控制各目标间的权重。

3 模型求解

3.1 列生成算法描述

本文采用改进的列生成算法来求解协同优化模型。列生成算法是一种基于数学规划的启发式算法，其基本思想源于D-W分解策略[20]。目前，列生成算法已广泛用于求解排序、运输物流调度、网络优化、航班恢复问题等，能够有效地计算广义分配问题的最优解。相比于传统随机搜索的启发式算法(如遗传算法、蚁群算法、禁忌搜索算法等)，列生成算法能收敛到最优解，但收敛速度慢，易受到规模的限制；传统启发式算法虽然不受规模的限制，收敛快，易操作，但很难保证收敛到全局最优解。因此本文综合了列生成算法和传统启发式算法的优点，提出了改进的列生成算法，以降低求解时间，有效提高求解精度，改进的列生成算法平衡了算法的求解时间和求解精度的问题，对于大规模算例的运算具有较好的求解优势。算法的流程图如图3所示。

图3 改进的列生成算法流程图

3.2 改进的列生成算法步骤

改进的列生成算法的具体步骤如下：

(2)求解原目标函数的限制性子问题Z1

(3)求解原目标函数对应的价格子问题

(10)

至此，得到最后的常规公交和定制公交协同线路优化方案。

4 算例分析

4.1 算例描述

本文以Sioux Falls网络为研究对象，如图4所示。该路网共有24个节点，76条有向路段，站点1、2、13为始发站，7、16、20为到达站，其余为备选停靠站点，各连边的权重为路段的单位距离，公交平均车速取60/运营周期。根据路网规模，设计9条初始常规公交线路，不含定制公交线路，常规公交车辆往返于始发站和到达站之间。初始常规公交线路基本情况如表1所示。

图4 算例网络示意图

表1 初始常规公交线路基本情况

4.2 取值标定

在模型优化前，对相关参数的取值进行标定。

α1表示安全风险成本的费用转化系数，通过疫情传播的平均社会损失成本标定，取值为219[21]。Bf表示f等级的疫情爆发阈值，本文将疫情等级分为甲、乙、丙3个等级[22]，参考文献[21]，甲级的疫情爆发阈值B1=0.130，乙级的疫情爆发阈值B2=0.085，丙级的疫情爆发阈值B3=0.020；r表示疫情防控措施下的传染率，本文仅考虑口罩防护，取r=0.01。车辆载客阈值按疫情一般防控要求，取车辆座位数的50%，常规公交载客阈值为20人，定制公交载客阈值为15人。疫情风险等级分为无风险、低风险、中风险和高风险，系数δ取值分别0、1、2、3。模型相关参数取值如下：T=1，β燃油=5，β附加=8.75，β1=1，β2=8，α2=10，n=400，φ1=0.4，φ2=0.2，φ3=0.4。

优化模型中，将疫情传播等级设定为乙级，乘客出行采取口罩防护。在24个公交站点，随机生成400个虚拟起讫点(OD)，详细步骤如下。

(1)生成24×24的单位矩阵，单位矩阵元素的位置描述为(m,n)，元素值用Ωm,n表示，初始Ωm,n=0(主对角线值为1，但无实际意义)。

(3)对于400个出发点，为每一个出发点i，随机从400个目的点j选择一个，组成二维向量(i，j)，且i≠j。

至此，400名虚拟乘客出行需求分布在24×24的OD矩阵中。

4.3 算法性能分析

本文使用个人计算机(内存为8 GB，英特尔酷睿i7处理器，编程软件为Matlab 2018 b)求解疫情爆发下城市常规公交与定制公交协同优化模型。改进的列生成算法中，遗传算法获得初始可行解的编码交换方式采用2-opt，交叉概率为0.8，变异概率为0.1。改进列生成算法和其他算法的求解结果如表2所示，其中求解结果是算法10次运算得到的平均最优解，优化程度是算法的(求解结果-最优结果)/最优结果。从表中可知，随着任务数的增加，几种算法的优化程度未发生显著的变化；遗传算法[23]、禁忌搜索算法、改进列生成算法和分支定价法的收敛速度与任务数量变化呈平稳增长的趋势，而Cplex的收敛速度随任务数量的增长显著提升，且当任务数达到2 000时，超出了其处理范围。

进一步分析，与遗传算法和禁忌搜索算法相比，随着任务数的增加，本文提出的改进列生成算法的收敛速度并未显著增加，但优化程度有显著的提高；与Cplex相比，改进列生成算法能处理大规模的任务运算，并获得较好的优化结果；与分支定价算法相比，随着任务数的增加，改进列生成算法的优化程度更优，且收敛速度更快。这些体现了本文算法对于平衡求解时间和求解精度，以及求解大规模算例所表现的运算性能优势。

4.4 模型求解及分析

经过程序计算得到的常规公交和定制公交协同优化结果见表3。正常运营6条常规公交线路，因疫情传播风险关闭3条常规公交线路，同时增加了4条定制公交线路，公交车辆共计服务325人，其中2条公交线路最大上座率到达100%，说明该线路存在运力不足的情况。新增4条定制公交线路作为常规公交的补充，增加了需求量大线路的运力以满足乘客的需求。

表2 几种算法的求解结果对比

表3 常规公交和定制公交的协同优化方案

为了突出本文提出模型的有效性，将协同优化方案(S1)与仅考虑常规公交(S2)和仅考虑定制公交(S3)的优化方案进行对比，结果如表4所示。由表中可以看出，本文提出的协同优化方案最终求得的最优目标函数值为3 571.68。与S2方案相比，本文协同优化方案的平均上座率虽然较差，但由于开通定制公交线路，总服务人数和总运营里程显著提高；与S3方案相比，本文协同优化方案总服务人数略小，但总运营里程明显降低，且

表4 3种方案的优化指标对比

上座率大幅提升，导致协同优化方案目标函数值优于(小于)S3方案。S2与S3方案对比，S2方案的目标函数略优于S3方案，但S2方案考虑疫情传播风险因素而导致车辆停运，进而导致乘客服务人数显著减少，虽然整体上看S2优于S3，但忽视了乘客的利益。

不同疫情传播等级下文中协同优化方案的优化结果如图5所示。可以看出，随着风险等级的降低，常规公交线路条数增加，定制公交线路减少，且总服务人数也随着疫情等级的降低而增大，证实了定制公交对疫情防控的有益效果。

图5 不同疫情传播等级下协同优化方案的优化结果

5 结语

本文以疫情爆发为研究背景，提出了常规公交和定制公交的协同优化模型，该模型考虑了疫情爆发损失费用、运营商运营费用和乘客出行费用三方成本；建立了以社会成本+运营商成本+乘客成本整体最小的目标函数，通过设置合理的目标函数与约束条件，保证了常规公交和定制公交满载率低于安全阈值，在避免疫情爆发前提下，降低运营成本并最大化满足乘客出行需求。

本文采用一种基于数学规划方法的改进列生成算法对模型进行求解，将原问题拆分成限制性主问题和子问题，以求得模型精确解。研究结果表明：本文提出的协同优化模型较独立的常规公交或定制公交优化模型具有明显的优势，随着疫情等级的降低，常规公交线路增加而定制公交线路减少，说明了定制公交应对疫情传播的有效性和实用性，为疫情爆发下的公共交通系统疫情防控提供了理论指导。