郑亚晶 李耀辉 李雨恒 靳文舟

(华南理工大学 土木与交通学院，广东 广州 510640)

随着我国各个城市地铁网络规模的增长，城市的资源承载能力也因地铁系统巨大的耗电量而面临着越来越大的压力[1]。因此，降低地铁系统的电能耗费，既有降低地铁运营成本的内在需求，也有城市可持续化发展的外在需要。相应地，减少地铁系统能源消耗的研究也一度成为热点[2]，在相关的研究中，通过优化驾驶操作策略或减少列车运行阻力来降低牵引能耗[3- 5]，已成为主要研究方向，并得到了广泛的运用。而近年随着再生制动技术在地铁系统中的普及[6]，有效利用再生制动电能从而降低地铁运行能耗的方式，为地铁系统环保节能提供了新的方向。然而，在实际的地铁运营过程中，再生制动电能除了较难有效利用外，还会因其冲击性和间歇性带来的接触网电压波动而损害牵引动力系统。从实际的运营效果来看，无论是利用电能存储装置还是利用电网协调控制的方式，都会在现实中遭遇瓶颈，这使得通过调配同一供电臂上列车之间的时空关系来提升再生制动电能的利用率，降低供电接触网的电压波动，成为现阶段解决再生制动电能利用问题的最有效途径[7]。

2004年Nag等[8]提出了一种非线性多目标模型对列车时刻表进行优化，提高了再生制动电能的利用率。2007年Romas等[9]提出了一种通过最大化同一供电臂内列车启动和制动的重叠时间来提高再生制动电能利用率的线性规划模型。2011年Kim等[10]提出了通过调整列车发车时间对再生制动电能利用率进行优化的方法。2013年Yang等[11]在假设再生制动能量只能被相邻列车使用的前提下，提出了一种调度规划方法来同步相邻列车的牵引和制动操作，并对列车间隔时间和停站时长进行了优化。2014年Li等[12]提出了一种列车节能操纵和时刻表调整的一体化优化方法；赵乐[13]从列车时刻表的角度，以同一车站不同列车启动和制动的重叠时间最大为目标，构建了再生自动电能的优化模型与算法。2015年唐海川等[14]根据前行列车的运行状态对后行列车的驾驶策略进行了节能调整化。2017年彭其渊等[15]通过对发车间隔或停车时间的微调，在不改变列车开行方案的前提下对列车再生制动电能的利用进行了优化。不过目前的研究主要针对相邻列车间的再生制动电能的相互利用问题，以分析列车的运行状态为主，并未对同一供电臂上不相邻的列车之间的相互影响进行深入分析，且未将这一影响上升至运行图层面。基于此，本文从地铁列车运行图层面进行分析，以同一供电臂上所有列车的相互影响为研究对象，对再生制动条件下地铁列车运行图的节能优化问题进行研究，以完善再生制动电能利用率的相关理论。

1 问题分析及建模前提

再生制动条件下的地铁列车运行图的优化必须满足节能效果佳、保证运输任务和易于控制条件[15]才可能被实际运营所采纳：①从节能效果来看，列车在区间的运行过程应按传统的节能操纵方法进行，而无需考虑通过调整区间运行时分来提高再生制动电能的利用率，否则相当于在提高再生制动电能利用率的同时增加了列车区间运行时的能耗，最终结果是否节能难以衡量；②从保证运输任务来看，对运行图的优化并不能大规模地改变地铁列车的全日开行方案，而只能做符合运行规范的轻微调动[15]，否则有运输任务无法保证的风险；③从列车控制来看，由于列车自动运行装置(ATO)已经在我国的地铁系统完全普及，列车在首站发车前即确定了各区间的运行方案，要想在列车运行过程中再对这一过程实施精确的实时控制并不现实。故本文的研究基于以下几个前提展开：

(1)地铁列车的各站间区间的运行时分为常数(由传统的单列列车运行的最优节能操纵方案确定)，不可调整；

(2)仅能对地铁列车的发车间隔和到站停站时间进行微调；

(3)列车运行方案在发车前确定，发车后不再进行实时调整；

(4)处于同一供电臂内的列车之间才存在再生制动电能的吸收问题；

(5)上下行列车之间不存在再生制动电能的吸收问题(上下行供电臂间不连通)。

2 地铁列车运行图的优化模型

2.1 模型的构建

(1)

(2)

图1 列车在区间的运行模式

图2 有效用能时间示意图

(3)

式中，ψ表示在有效用能时间的单位时间内平均可吸收的再生制动电能的大小，其值可通过实验的方式获得。显然，本文讨论的地铁列车运行图的主要优化目标为最大化有效用能时间内吸收的再生制动电能，即

(4)

为了保证以上目标不过多改变地铁列车的全日开行计划，设置次要优化目标如下：

(5)

(6)

以上3个目标式的优先级别是式(4)>式(5)>式(6)。

在约束条件方面，首先需要保证发车间隔和停站时间不超过规定范围，即

(7)

(8)

其次，需保证优化后的相邻运行线e和运行线e+1之间的时间间隔满足线路的最小追踪间隔I以及车站n中同方向列车的不同时发到间隔时间Hn，即

(9)

(10)

(11)

式中，|N|表示集合N中的编号个数。至此，模型构建完毕。

为确保旅客列车的全程旅行时间不至于因本文的优化而延长(或缩短)太多，可对每条运行线的全程旅行时间进行如下约束：

(12)

式中，Xe和Ye分别为运行线e全程旅行时间的最小值和最大值，可由运营管理部门根据运行线e所在的运营时间段、运营服务水平等因素综合决策确定。

2.2 模型的求解

根据3个优化目标式的优先级别，可分层进行求解，式(4)、式(5)和式(6)均为非线性约束，很难在有效时间内得到满意的结果。因此，本文采用类似文献[16]中时空局域滚动优化的方式，先将整个解的可行域分解为多个连续的子域(实质上是在运行图上设置以时间长度或以运行线数量为标准进行“窗口”的划分)，再对“窗口”内的运行线进行优化，然后将已优化的运行线数据加入已知量，对下一个“窗口”内的运行线进行优化，如此重复直至最终完成问题的求解。在以上的求解方法中，可以通过调整“窗口”的长短来平衡求解速度与优化结果精确度之间的矛盾，从而适应不同的实际需求。例如，可以将“窗口”大小定义为仅包含一条运行线，此时运行线间的发车间隔即可满足对要发班的运行线进行优化的求解时间要求。显然，在这种情况下，即使发生了实际运行线偏离既定运行线的情况，也可以通过及时对下一列列车运行时刻的优化来保证再生制动电能的利用率。此时，本文方法即可作为列车运行时的调度调整辅助策略使用。

如图3所示，在由5个站点构成的运行图中，若一个“窗口”仅包括一条运行线，则其求解过程如下：在确定第一条运行线的位置(实际情况为首班列车从首站发车，如图3(a)所示)后，根据客流预测情况加入第二条运行线(如图3(b)所示)；然后采用本文方法建模并求解，确定第二条运行线的待决策时间点，从而得到第二条运行线优化后位置(如图3(c)所示)；之后对剩余的运行线重复以上流程即可(如图3(d)、3(e)、3(f)所示)。

图3 模型的求解步骤示意图

由于以上求解方法每次仅需对一个窗口内的运行线进行优化，需确定的变量(待决策时间点)较少，按我国地铁线路的规模来看，利用商业优化软件(如Lingo)即可有效求解。

3 算例分析

某地铁线路共计16个车站，每4个站为一个供电臂(供电臂之间的绝缘点在相应的站间区间内)，列车停站时的产能持续时间为15 s，出站时的用能时间为30 s，下行方向的区间运行时分及停站时间如表1和表2所示。

根据客流情况，此线路首班车开行时间为5:30，首班车无需优化，按表1数据开行，之后对第2班列车的运行线进行优化，根据客流情况和服务水平计算的原始开行方案，第2班列车开行时间为5:36，该时间可变动值范围为-30～30 s，代入本文模型，在8 GB内存的Intel(R)Xeon(R)CPU E5- 1620 v 4 3.5 GHz微机上运行，不超过1 s即可求得第2班列车的最优开行方案及列车运行图，该最优方案如表3和图4(为显示清晰，仅标出了有重叠区域的产能时间和用能时间)所示。

表1 目标线路下行方向区间标准运行时分

表2 列车在目标线路下行方向各站的停站时间

优化后的目标值为84ψ，然后将该优化方案作为已知条件，对运行线3进行优化，并以此类推，顺次优化后续的发班地铁列车(因数据量过大，本文省略，在这一求解过程中，各条运行线的最大优化方案求解时间为29 s，完全满足实际工作的需要)。

表3 优化方案

从节能效率来看，若仅考虑首班车和第2班列车，优化后的有效用能时间为84 s，而两列车在整个运行过程中的产能时间共计450 s，累计用能时间占两条运行线总产能时间的18.7%，比原始开行方案(原始开行方案的有效用能时间为32 s，累计用能时间占总产能时间的7.1%)提高了11.6%。如果从整张运行图的角度核算，对于算例中的线路，可将累计用能时间占总产能时间的比例由4.94%提高到21.31%。通过对多条线路(区间运行时间为100～200 s，一个供电臂包含3～4个车站，全天发车100～300对)的测算，利用本文方法一般可以将有效用能时间占总产能时间的比例提高至15%以上。

4 结论

本文将地铁列车再生制动电能的利用率最大化问题转化为地铁电网同一供电臂下车到站的产能时间段和列车发车的用能时间段的重叠区间最大化问题，在传统列车开行方案的基础上对列车的发车间隔和停站时间进行微调。算例分析结果表明，通过运行线逐条增加、顺次求解的方法得到的优化方案，可以有效地对地铁列车运行图进行节能优化。今后将细化在有效用能时间内直接吸收电能的表达式，并探索更有效的优化算法。

图4 列车运行图优化前后的对比

最后，需要说明的是，在实际运营中，列车运行图的优化往往是针对多个优化目标的协调结果，而本文仅从节能角度出发进行优化，但本文方法能够进一步丰富列车运行图的优化理论，具备较强的现实意义。