李颖川，王琛琛，董志强

（北京交通大学电气工程学院，北京 100044）

随着现代工业的快速发展，三电平中点箝位NPC（neutral point clamped）型逆变器作为多电平逆变器之一，凭借其输出谐波含量低和开关器件承受的电压应力小等优势，在中高压和大功率场合中广泛应用[1-2]。

在大功率场合，为降低逆变器的损耗，需降低开关器件的开关频率，但在低开关频率下，常规的载波调制和空间矢量调制已经无法适用[3]。为满足系统在低开关频率下的运行要求，研究学者提出特定谐波消除脉宽调制SHEPWM（specific harmonic elimination pulse width modulation）法和电流谐波最小脉宽调制CHM-PWM（current harmonic minimum pulse width modulation）法[4]等优化PWM 法，其中SHEPWM 应用最为广泛。

SHEPWM 目前常用的实现方式有在线实现和离线计算，其中离线计算分为查表法和曲线拟合法。但两电平SHEPWM 与三电平SHEPWM 相比，其开关角轨迹的线性程度更高，采用多项式曲线拟合法较为简便，而三电平SHEPWM 的开关角轨迹变化较大，查表法与多项式曲线拟合法都存在缺点。如文献[5]采用两种方法实现三电平SHEPWM 的在线计算，其中：第一种为查表法与线性插值法相结合，减少查表数量，但表格数据的数量较多；第二种是将开关角轨迹拟合得开关角度，使用所得开关角度作为牛顿迭代的初值，利用牛顿迭代法在线求解开关角度，但会出现迭代不收敛的情况。文献[6]采用多项式曲线拟合法实现三电平SHEPWM，但在高调制比区域，需多段拟合才能达到拟合精度的要求。由此，研究学者提出了其他实现三电平SHEPWM 的方式。如文献[7]采用基于遗传算法的在线计算开关角的方法，计算过程中无需给定初值和预测解的变化趋势，易收敛且计算时间缩短，但实现过程较为复杂；文献[8]采用基于遗传算法优化的BP（back propagation）神经网络实现在线计算，计算时间短，且无需给定初值，但实现较为麻烦。

与多项式曲线拟合法类似，傅里叶级数拟合法可用于拟合曲线，多用于铁路客运量、自然灾害损失、电力系统日负荷量、数据信号和抽样调查数据等周期性曲线处理[9-10]。此外，傅里叶级数拟合也可用于非周期性曲线的拟合[11]，如凸轮升程曲线[12]。

本文以三电平NPC 为研究对象，采用傅里叶级数拟合法实现三电平SHEPWM 开关角轨迹曲线的拟合，并与常用的多项式曲线拟合法对比。最后，通过仿真及实验验证了傅里叶级数拟合法的可行性。

1 SHEPWM 基本原理

图1 为三电平NPC 逆变器三相拓扑，图2 为三电平NPC 逆变器的输出相电压波形。

图1 三电平NPC 逆变器拓扑Fig.1 Topology of three-level NPC inverter

SHEPWM 将三电平逆变器输出的相电压波形通过傅里叶级数展开，为消除特定次谐波而得到一组非线性方程组。通过求解非线性方程组，可得各个开关角度。

图2 中，a 相电压Ua的输出波形由傅里叶级数展开为

图2 三电平NPC 逆变器输出相电压波形Fig.2 Waveforms of output voltage of three-level NPC inverter

式中：n 为基波和各次谐波次数；ω 为角频率；t 为时间；qn和rn分别为相电压波形中正弦分量和余弦分量的幅值，分别表示为

图2 中：α1，α2，…，αN为开关角；N 表示开关角个数；Udc为直流侧总电压。输出相电压波形具有半波对称和1/4 周期对称的特点，因此输出波形所含的谐波成分中不存在偶次分量，可得

当输出侧接三相对称负载时，3 的倍数次谐波在线电压中相互抵消，只需考虑消除6k±1（k=1，2，…）次谐波，可得基波（即n=1）分量和n 次（n=6k±1，k=1，2，…）谐波分量的电压幅值分别为

取直流侧总电压Udc的一半即Udc/2 为基值进行标幺化，则式（5）可变为

式（6）中，N 个开关角构成含有N 个方程的非线性方程组，消除N-1 个特定次谐波，如N=7 时，消除5、7、11、13、17 和19 次谐波。

求解式（6）的非线性超越方程组，目前有遗传算法[7]、牛顿迭代法[13]、同伦迭代算法[14]、蚁群算法[15]等方法，本文采用牛顿迭代法进行求解。牛顿迭代法求解的关键是迭代初值的选取，因为迭代初值与解的收敛性有关。本文采用文献[13]中迭代初值的选取方法，得到开关角随调制比m 变化的轨迹曲线，如图3 所示。由图3 可知，在低调制比区，开关角与m 接近线性关系；在高调制比区，开关角轨迹变化较大。

图3 不同开关角个数下开关角度随调制比的分布Fig.3 Distribution of switching angle with variable modulation ratio under different numbers of switching angle

2 曲线拟合法

2.1 多项式曲线拟合法

多项式曲线拟合法广泛应用于曲线拟合。在开关角轨迹曲线拟合中，第i 个开关角αi的曲线拟合表达式为

式中：i=1，2，…，N；m 为调制比；pi0，pi1，…，pih为多项式拟合系数；h 为pih对应的拟合阶数，且h=1，2，…，g；g 为所选拟合阶数，g 越大，拟合曲线越逼近原曲线，拟合误差越小。当拟合曲线的波动过大时，即便g 增大，拟合误差依旧很大，则需采用分段拟合，以减小拟合误差。

鉴于多项式曲线拟合法在不分段的情况下，拟合曲线波动过大时拟合误差过大。为减小拟合误差需多次试验寻找分段点进行分段的缺点，本文提出采用傅里叶级数拟合法来拟合开关角曲线。

2.2 傅里叶级数拟合法

对于周期性曲线，傅里叶级数展开式为

式中：a0，a1，a2，…，aj和b1，b2，…，bj为傅里叶系数；x为ax和bx对应的拟合阶数，x=1，2，…，j；j 为选定的展开阶数。若j 选取过大，会增大计算量；若j 选取过小，则无法满足拟合精度的要求，所以需要选取适当的j 值。

采用傅里叶级数拟合法拟合开关角轨迹曲线时，傅里叶级数展开式为

式中：i=1，2，…，N；ωi为开关角αi曲线拟合时对应的角频率。

由于开关角轨迹曲线为非周期性曲线，可将其看作某个周期性曲线的某一部分进行傅里叶级数展开。在非周期性曲线中，ωi和傅里叶系数由非线性最小二乘法[16]计算得出。

计算ωi，ai0，ai1，ai2，…，aij，bi1，bi2，…，bij的具体实现过程如下。

定义向量

根据式（9），在全调制比范围内，将m 等份划分为λ 份，则λ 份mλ满足

当满足j≤λ/2 时，通过非线性最小二乘法计算Xi和ωi；若不满足j≤λ/2，则求解的未知数多于方程个数，无法求解Xi和ωi。

以N=7 的开关角轨迹为例，分别采用多项式曲线拟合法和傅里叶级数拟合法进行曲线拟合，在拟合精度为±1.5°下对比分析。曲线拟合情况如图4～图6 所示，其中图4（a）、图5（a）和图6（a）中实线为原轨迹曲线，虚线为拟合轨迹曲线。图4（a）和图5（a）中的第1 分段和第2 分段以及图5（a）中的第3分段表示分段拟合区域。

图4 为多项式曲线拟合法在全调制比范围内分2 段拟合，在m 为0～0.68 时5 阶多项式拟合；0.68～1.15 时6 阶多项式拟合。图5 为3 段4 阶多项式拟合，即m 分为0～0.68、0.68～0.849 以及0.849～1.15。图6 为傅里叶级数拟合法在全调制比范围内直接拟合，且为7 阶傅里叶级数展开。

图4 多项式曲线拟合法：2 分段Fig.4 Polynomial curve fitting method:2 segments

图5 多项式曲线拟合法：3 分段Fig.5 Polynomial curve fitting method:3 segments

对比图4 和图5 可知，多项式曲线拟合法分段越多，总体的拟合误差越小，但在保证拟合精度的条件下，需经过多次实验来选取满足拟合精度的分段点，并且不同开关角个数的拟合曲线所选取的分段点也不相同，因而实现较为繁杂。由图4～图6 对比可得，与多项式曲线拟合法相比，傅里叶级数拟合法无需分段，在全调制范围内可直接拟合，在不同的开关角个数下无需额外寻找分段点，实现较为简便。

图6 傅里叶级数拟合法Fig.6 Fourier series fitting method

3 仿真分析

为验证傅里叶级数拟合法的可行性，在Matlab/Simulink 搭建三电平NPC 逆变器仿真模型，验证当开关角个数为7，即N=7 时，采用傅里叶级数拟合法和多项式曲线拟合法的消谐效果，并对比分析。仿真参数如表1 所示。

表1 仿真参数Tab.1 Simulation parameters

图7～图9 分别为不同拟合法下a 相输出电压Ua、ab 相线电压Uab、a 相输出电流Ia仿真波形及各自对应的谐波含量。对比可得，多项式曲线拟合法和傅里叶曲线拟合法基本消除3、5、7、11、13、17 和19 次谐波，并能达到目标的调制比0.8 左右。此外，两种方法的输出电流谐波含量基本一致。

图7 多项式曲线拟合法：2 分段（仿真）Fig.7 Polynomial curves fitting method:2 segments（simulation）

图8 多项式曲线拟合法：3 分段（仿真）Fig.8 Polynomial curve fitting method:3 segments（simulation）

图9 傅里叶级数拟合法（仿真）Fig.9 Fourier series fitting method（simulation）

4 实验验证

为验证傅里叶级数拟合法是否可行，搭建了以TMS320F28335 为核心芯片的三电平NPC 实验平台。实验参数与仿真参数一致。

图10～图12 分别为不同拟合法下的实验波形及对应的谐波分析。由图10～图12 中的实验波形与图7～图9 中的仿真波形对比可知，实验波形与仿真波形一致。图10～图12 中，3 种方式的相电压基波幅值都在78 V 左右，线电压基波幅值在133 V 左右，相电流基波幅值在2.2 A 左右，并且5、7、11、13、17和19 次谐波已基本被消除，因而3 种方式谐波消除效果基本一致，验证了傅里叶级数拟合法的有效性。由实验与仿真的谐波含量对比可见，谐波分布一致，但基波幅值偏小，谐波THD 偏大，这是由于实验中逆变器直流侧为不控整流提供的电压，非理想直流电压，故直流侧电压存在偏差和波动，导致基波幅值偏小，谐波THD 增大。

图10 多项式曲线拟合法：2 分段（实验）Fig.10 Polynomial curve fitting method:2 segments（experiment）

图11 多项式曲线拟合法：3 分段（实验）Fig.11 Polynomial curve fitting method:3 segments（experiment）

图12 傅里叶级数拟合法（实验）Fig.12 Fourier series fitting method（experiment）

表2 为实验过程中3 种方法的计算耗时。由表2可以看出，多项式曲线拟合法（3 分段）总的计算耗时最短，而傅里叶级数拟合法的计算耗时比较长，这是由于傅里叶级数拟合法中采用了三角函数，而三角函数的计算需要耗费一定的时间。但傅里叶级数拟合法在实现上比多项式曲线拟合法简便。

表2 实验计算耗时Tab.2 Time consumption in experimental calculations

5 结论

本文提出了采用傅里叶级数拟合实现三电平SHEPWM 开关角轨迹曲线拟合的方法，通过仿真和实验验证傅里叶级数拟合法的有效性。可以看出，傅里叶级数拟合法能在全调制比范围内进行曲线拟合，拟合曲线十分平滑；在满足拟合精度的情况下，比多项式曲线拟合法简便，且无需分段。

在实际工程中，采用傅里叶级数拟合法实现三电平SHEPWM 更为简便，为三电平及其他电平SHEPWM 的实现提供了一种新的方案。