基于拉伸主导的热膨胀点阵超材料带隙特性分析

2021-08-04刘成龙吕树辰许卫锴

沈阳航空航天大学学报 2021年3期

刘成龙，吕树辰，许卫锴

(沈阳航空航天大学辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室，沈阳 110136)

声子晶体(Phononic crystal,PnCs)[1-3]是一种具有空间周期性结构的复合材料。当弹性波或声波通过声子晶体时会形成能带结构，从而在一定的频率范围内形成通带或禁带，在禁带的频率范围中的声波/弹性波无法传播。声子晶体的带隙特性有很重要的应用价值，在滤波、减震及降噪领域都有广阔应用前景[4-8]。声子晶体带隙产生方式有Bragg散射机理[9]和局域共振机理[10]两种，根据这两种机理，可以通过改变包括材料密度、模量、声阻抗等材料参数以及晶格形式、散射体形状等结构参数实现对能带结构的调控。相比于自然材料，声子晶体具有超强的可设计性，通过声子晶体带隙调控满足不同的设计需求[11-12]的研究是各个领域研究的热点。

为了应对当前科技发展的需要，材料需要更全面的性能。对于带隙材料来说，带隙的可调谐性和多功能性成为首要考虑的问题。声子晶体带隙的影响参数主要是材料参数和结构参数，然而材料和结构在确定后就很难更改，目前的研究方向是通过施加外界的电、磁、热等物理场使得材料的性质和结构发生变化，通过控制微结构的变化实现带隙性能的调控[13]。另一方面，材料的工作环境往往存在光、电、磁、热、力等多场耦合的情况，因此对材料的属性提出了新的要求。例如，声光子晶体(Phoxonic crystal,PxC)可以同时实现声带隙和光带隙[14]。

在航空航天等领域中，结构与材料在服役过程中往往需要应对多种物理场的耦合作用，如微电机系统、高超声速防护系统等既要应对温度的变化，还要应对振动和噪声的挑战。因此在设计具有特定的热膨胀功能的结构的同时考虑其是否具有带隙特性的问题渐渐进入学者们的视野，对特定热膨胀系数材料的实现已经得到了广泛的关注[15-17]。目前实现热膨胀调控的点阵超材料分为弯曲主导型和拉伸主导型两种[18]，弯曲主导型主要依靠构型中弯曲部分变形实现热膨胀调控功能；拉伸主导型主要依靠每根杆件发生轴向拉压变形实现热膨胀调控功能。例如，Lehman和Lakes等人设计了一种弯曲主导型热膨胀单胞(Lehman-Lakes单胞)，该单胞采用三角形设计实现高刚度的需求[15,19,20]。韦凯等[21]设计了一种拉伸主导型双材料三角晶格热膨胀材料并讨论了该材料实现特定膨胀的可行性。

可以看出，无论是弯曲主导型还是拉伸主导型的热膨胀材料，都是由不同排列的点阵结构组成，且组合的构型基本对应着三角形、四边形或六边形的晶格，这些拓扑构型在具有特殊热膨胀性能的同时，还有可能存在带隙特性。因此，对考虑热膨胀系数设计的热膨胀单胞进行带隙研究成为必须要考虑的关键问题。

本文通过有限元方法对拉伸主导型热膨胀点阵超材料的能带进行分析，并讨论了分别具有正、负、零膨胀系数的单胞形式的带隙特征。研究表明，单胞的构型对其带隙结构有较大的影响。由于拉伸主导型的热膨胀系数由基元确定，因此设计特定热膨胀系数的材料可通过对基元进行不同的排布来得到。通过合理的单胞结构设计，可以实现热膨胀与声学带隙兼备的功能。

1 模型和方法

1.1 单胞的选取

本文选取文献[21]中的双材料点阵结构作为研究对象，其基元构型如图1所示。其膨胀性能体现在高度方向，当组分1和组分2受热同时膨胀，在高度方向的位移相互协调，实现特殊的膨胀性能。可以看出，将包含双材料的基元进行排列并置于同一平面，根据排列的不同可分为两种构型：Ⅰ型构型为双材料三角形共享顶点M点，Ⅱ型构型为平面晶格共享顶点M点，如图2所示。

一旦材料和结构尺寸确定后，Ⅰ型和Ⅱ型的单胞等效热膨胀系数αv/α2可表示为[21]

(1)

(2)

不失一般性，本文选取铝和因瓦作为组分材料，其材料参数如表1所示。根据式(1)和式(2)可计算出材料的热膨胀系数随角度的变>化，如图3所示。可以看出，不同的排列形式可以实现不同的热膨胀系数，而针对不同热膨胀系数的构型亦可能存在不同的带隙特征。这意味着在实现特定热膨胀系数材料设计的时候，可以通过选择不同的构型以兼顾带隙的功能；或者在选定材料构型后，可在热膨胀系数变化非常小的前提下选择结构尺寸对带隙进行细微的调控。因此，有必要对不同热膨胀系数的单胞构型进行特性分析。

图1 基元构型图

图2 Ⅰ型及Ⅱ型晶格示意图

表1 铝和因瓦的物理参数

1.2 能带结构计算

弹性波在线弹性、各向同性的无源介质中的控制方程为[22]

ρ(r)-1{∇·[μ(r)∇×u(r)]-

∇[(λ(r)+2μ(r))(∇·u(r))]}=ω2u(r)

(3)

式(3)中，ω为角频率，r(x,y,z)为位移矢量，u(r)为位移向量，∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)为微分算子；λ(r)和μ(r)分别为介质的拉梅常数，ρ(r)为介质密度。这3个材料参数和周期结构具有相同的周期性。

图3 平面晶格的标准化的热膨胀系数αv/α2

根据布洛赫定理，有

(4)

其中k=(kx,ky)为第一布里渊区内的波矢，G为正格矢任一倒格矢。由于平移周期性，一个晶胞的空间内场分布与整个晶格结构的周期性是相同的。对于Ⅰ型和Ⅱ型的四边形构型来说，其不可约布里渊区如图4a阴影部分所示；Ⅰ型三角形、Ⅱ型三角形、Ⅰ型六边形以及Ⅱ型六边形的拓扑构型均为正六边形晶格，其不可约布里渊区如图4b阴影部分所示。对于带隙分析，只需要使波矢历遍不可约布里渊区的边界，即可得到该声子晶体的带隙。

图4 第一布里渊区和不可约布里渊区

2 结果与讨论

2.1 正膨胀构型带隙分析

首先，对于正膨胀构型进行能带研究。由图3可以看出，Ⅰ型的Al-Invar构型仅能在较小的角度实现正膨胀，且膨胀系数较小。Ⅱ型的Al-Invar构型更容易得到较好的正膨胀性能。图5列举了取β=30°、L1=39.3 mm、L2=36.3 mm时3种Ⅱ型构型的带隙特征。由式(2)可以看出，尽管选取的基元相同，但不同的单胞排列会导致不同的等效热膨胀系数。在本例中，其值依次是 4.08、1、7.64。

由图5可以看出，在结构实现正膨胀时，Ⅱ型四边形构型在7 kHz附近具有较窄带隙；Ⅱ型三角形构型在6.05～6.9 kHz、11～11.5 kHz和15～15.3 kHz具有较窄的完全带隙；Ⅱ型六边形构型在11～12 kHz具有稍宽带隙。然而，由图2可以看出，Ⅱ型构型类似于材料2(Invar)为基体而材料1(Al)为夹杂的桁架结构，根据文献[23]的结论，夹杂的刚度较低不利于形成较大的带隙，因此3种构型的带隙均不理想。

2.2 负膨胀构型带隙特征

如图3所示，Ⅰ型Al-Invar构型在角度较大时容易得到较好的负膨胀性能。图6列举了Ⅰ型负膨胀结构的带隙特性，此时2种材料分别为铝和因瓦，β=26.5°、L1=36.2 mm、L2=35.8 mm，3种构型的等效热膨胀系数都为-3.95。

图5 Ⅱ型正膨胀单胞的带隙结构图

图6 Ⅰ型负膨胀单胞的带隙结构图

其中Ⅰ型负膨胀四边形几乎没有带隙；Ⅰ型负膨胀三角形在7～7.8 kHz范围内具有较窄带隙范围；Ⅰ型负膨胀六边形在6.4～6.9 kHz、8～10.9 kHz具有较宽的禁带频域。这是因为该角度下，三角形和四边形的单胞连接主要是三角形的形式，这不利于带隙的的产生[24]。六边晶格则增加了连接杆数，从而产生了较宽的带隙。

2.3 零膨胀构型带隙特征

由图3可以看出，当选择合适的参数时，可以得到具有零膨胀系数的材料。例如，由式(1)得β=12.6°，可以设计出三角形、四边形和六边形的零膨胀构型。图7展示了3种Ⅰ型Al-Invar零膨胀构型的带隙特征。可以看出，和2.2节相似，三角形和四边形单胞的带隙仍然很窄，例如，四边形构型在7～7.8 kHz范围内和9.5 kHz附近具有较窄带隙；三角形构型在6 kHz附近和7～7.8 kHz范围内具有较窄带隙；值得注意的是，随着基元角度的变化，六边形单胞的带隙相对变窄，在6.6 kHz附近和7～7.5 kHz区间。

图7 Ⅰ型AI-Invar零膨胀单胞的带隙结构图

另外，不同的材料属性也会对带隙产生影响[23]。例如，若采用铝和钢构建零膨胀结构，由式(1)可得β=40.5°。此时无法构建六边形，因此只分析了三角形和四边形构型的带隙特征，如图8所示。从图8可以看到，在结构满足零膨胀功能时，Ⅰ型三角形构型在3.8～3.9 kHz具有较窄带隙，Ⅰ型四边形构型在7.9～8.9 kHz和10.9～12 kHz范围内具有较宽的带隙，在3.9 kHz附近具有较窄带隙。

2.4 近零膨胀构型带隙规律

零膨胀结构具备能够适应剧烈的环境温度变化的特点，具有广泛的应用前景。对于拉伸主导型的热膨胀点阵超材料来说，其零膨胀体现在高度方向，因此构型的变化主要由基元中的材料1受温度变化影响后发生拉压变形所引起，这主要导致材料2的夹角β发生改变，而晶胞整体的大小保持不变。因此，选择夹角β在一定范围内使得材料满足近零膨胀特性并讨论其带隙的变化规律成为一个有意义的问题。

图8 Ⅰ型AI-Sted零膨胀单胞的带隙结构图

在本节中，选取Al-Steel构成的I型零膨胀模型，角度β的范围取40°～42.5°,以满足等效热膨胀系数近似为零的要求，其带隙规律如图9所示。从图9可以看出，β角的值对单胞带隙特征具有较大影响，禁带的范围随β角的增大产生整体下降的趋势。这是由于当角度增大时，三角形基元的斜边长度也增大，这相当于增加了振子的等效质量。