方程x+lnx=0有关的变形及应用
2021-07-24福建省龙岩第一中学364000林文柱福建省龙岩市第一中学锦山学校364000许佳蕾
福建省龙岩第一中学 (364000) 林文柱 福建省龙岩市第一中学锦山学校 (364000) 许佳蕾
方程的根因设而不求,可显其表达的丰富,方程的式因本质属性,可显其隐含的规律,方程的解因方法不同,可显其数学的美丽.下面对方程x+lnx=0的形和式作一些探究.
即ln(m+2)=-x(m+1),由-2
例1求证:e-x+xlnx≥x-x2.
解法3:不等式变形得x-1e-x+x+lnx-1≥0,即e-x-lnx+x+lnx-1≥0.设-x-lnx=t,则x+lnx=-t,代入不等式得et-t-1≥0,令h(t)=et-t-1,则h′(t)=et-1.所以h(t)≥h(0)=0.
类型2方程x2ex+lnx=0的根等价x+lnx=0的根
解析1:原方程变形得x2ex=-lnx⟹lnx+x=ln(-lnx)+(-lnx),令f(x)=x+lnx,则原方程等价f(x)=f(-lnx),由函数f(x)=x+lnx在(0,+∞)上为单调递增,所以x=-lnx,即x+lnx=0.
类型3方程2x2e2x+lnx=0的根等价2x+lnx=0的根.
例3 (2019福建省质检理科试题21)已知函数f(x)=x(e2x-a).
(1)若y=2x是曲线y=f(x)的切线,求a的值;
(2)若f(x)≥1+x+lnx,求a的取值范围.
推广2 若mn>0,则关于x方程mnx2enx-k+ln(mx)-k=0的根等价方程nx+ln(mx)=k的根,也等价方程(m+n)x-ek-nx+ln(mx)=k的根,也等价方程nek-nx+mln(mx)=mk的根.
例4 已知x0是方程x2ex-2020+lnx-2020=0的一个根,则e2020-x0+lnx0=.
总之,对准求解的目标,把数学表达式作适当的等价变形,让数学的本质属性通过不同的途径展示其发生和发展过程,再归属成一般性的规律,总会有山重水复疑无路,柳暗花明又一村的体会.