江苏省仪征市新集初级中学 (211403) 李爱民

一、问题提出

提高课堂教学质量和效益是老师们一直的追求，但在实际教学中，经常出现跑“偏”的现象——注重结果，忽视过程；只考虑做得到，不考虑想得到；将信息技术沦为播放器等.第二个表现是过分心“急”，急于讲解，急于应用知识，急于告知学生答案等.殊不知，这样跑偏和急功近利，只能收获“短”期利益.因为一节课教师将教学重心放在“用”，短时间集中练习同一个结论，因为不受其它知识的干扰，无需经过大脑的检索，看似会应用，实际上很大程度是机械模仿，加之没有经历知识形成的过程，不能做到真正理解，更不能感悟其中隐含的数学思想，时间一长，暂时提升的学业水平会迅速回落.

二、案例呈现

下面是笔者观摩的一节“探索三角形相似的条件(1)”教研课的部分实录，与各位同仁共同研讨.

环节1：操作、计算、猜想

(1)如图1，已知三条互相平行的直线l1、l2、l3，直线a、b分别与l1、l2、l3相交于点A、B、C和点D、E、F.测量图中线段AB、BC、DE、EF的长度，并计算AB与BC的比值和DE与EF的比值，你有什么发现？

图1

(2)平移直线l3，再测量AB、BC、DE、EF的长度，这些比值还相等吗？

学生在导学案中测量4条线段的长度，并计算AB与BC的比值和DE与EF的比值，因为计算的比值接近，教师引导学生猜想线段AB、BC、DE、EF对应成比例.

环节2：证明

教师直接告知学生猜想是正确的，并给出如下证明.

图2

教师提问：图1中还有线段成比例吗？

教师提问：还有吗？

环节3：归纳、强化

基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

教师提问：这个“基本事实”中最重要的两个字是什么？

学生齐答：对应.

教师讲解：对，如果将上面的线段称为“上”，下面的线段称为“下”，最长的线段称为“全”，“对应”就是“上”比“下”等于“上”比“下”，“上”比“全”等于“上”比“全”……

环节4：应用

教师出示6道题目，引导学生应用“基本事实”解决问题，并反复强调应用结论要注意“对应”，以及如何找对应线段.

环节5：例题

……

三、教师交流研讨

观摩课结束，组织了交流研讨活动，主要研讨本节课的教学设计，谈一谈观课的感受和个人的想法.下面节选部分教师的发言.

教师1：本节课思路清晰，先通过操作得到猜想，再进行逻辑证明，证明方法非常巧妙，对优等生的培养有很大的好处.

教师2：以前这个部分的教材内容是“平行线等分线段定理”，现在的教材改成了“基本事实”，既然是“基本事实”，就是大家公认为正确的，无须证明，只要会用就行.

教师3：本节课的难点是成比例线段中对应线段的确定，教者通过改变平行线的位置，抓住“对应”二字，有利于学生正确应用结论.

教师4：面积法证明“平行线分线段成比例”，虽然巧妙，估计学生想不到，也只能告知学生.

四、几点想法

本节课主要是探索基本事实：“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”和应用基本事实发现结论：“平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”，为推证相似三角形的判定定理奠定基础.教者引导学生经历了“探索——猜想——证明”的活动过程，归纳出基本事实，接着是结论的应用，再到例题讲解.整个教学流程科学合理，符合学生认知规律，能发展合情推理和演绎推理能力.

细品每个环节，还是落入了“偏”“急”“短”的陷阱.首先，操作探究不充分，教者在导学案中给了一个固定图形，学生测量同一个图形，不利于发现规律，猜想结论；改变直线l3位置，让学生再测量，也只提问两个学生，整个操作探究过程大概5分钟，操作探究流于形式.其次，证明该“基本事实”采用直接告知，没有任何问题铺垫，这个环节是教者在教材基础上的“拓展”，但教者没有考虑“拓展”的目的和怎样让“拓展”发挥最大效益.第三，应用结论环节，教者设计了6道题目(囿于篇幅，没有列出)，将大量时间花在如何应用结论，如何找平行线与被截线，如何找对应线段，可见教学重心在“用”而不在“探”.第四，例题教学慌慌张张.因为将过多的时间花在前面的6道题目上，所以例题教学时间不够，最后只能拖堂，导致第二个结论探索也不充分.第五，过分依赖PPT，流水式的播放问题，不给学生足够的时间来思考、讨论，甚至连与学生共同消化应用知识的示范板书也被PPT代替了.

当然，落入“陷阱”的老师不是一个，从教师研讨发言可见一斑，也有少部分老师表现出担心.

五、落实“四个理解”，摆脱教学“偏”“急”“短”

为了促进数学教师的专业发展，章建跃博士提出“四个理解”，即理解数学，理解学生，理解教学，理解技术.

1.什么是“四个理解”

理解数学即理解数学知识的意蕴，包括知识的价值、知识的精神、知识的情感等；理解学生即了解学生的认知基础、认知规律、思维特征、最近发展区等；理解教学即了解教学特点，掌握教学的基本原则和教学方法等；理解技术即将信息技术与课程内容有机融合，促进数学知识的探索和发现等.其中，理解数学是“四个理解”的基础.

2.落实“四个理解”是摆脱教学“偏”“急”“短”的必然要求

数学教学出现“偏”“急”“短”的原因有四方面：一是教学立意不高，只关注知识传授，没有挖掘知识蕴含的价值观资源，理解数学不够；二是不了解学生认知规律和思维特征，理解学生不够；三是违背教学基本原则，缺乏教学方法，理解教学不够；四是滥用信息技术，将信息技术沦为播放器，理解技术不够.针对上述问题和原因，数学教学必须重视并落实“四个理解”，即理解数学，理解学生，理解教学，理解技术.

3.落实“四个理解”的教学策略

(1)加强《课标》研读，体会教材编写意图

《课标》是国家根据课程计划以纲要的形式编定的有关学科的内容及其实施、评价的指导性文件.它是教材编写、教学、评价和考试命题的依据，是国家管理和评价课程的基础.对教师工作有直接的指导意义.教材是众多教育专家依据《课标》，历经反复打磨，精心推敲编写而成，其中凝聚着教育智慧和心血.所以，设计教学内容之前一定要认真研读，仔细体会，特别在“创造”时，必须要想清楚理由.本课例教者对教材做了“创造”，增加了“证明”环节，听课的教师对此意见不一.我们不妨从《课标》和教材两个角度来探寻.

《课标(2011年版)》列出9个基本事实，作为义务教育阶段图形性质证明的出发点.将这9个命题命名为“基本事实”，而不是“公理”，其主要原因是其中大多数是欧氏公理体系中的定理，另外它们也不具有公理体系的所应有的独立性、相容性、完备性.[1]所以，该“基本事实”不是不能证明，而是要不要证明？

《课标(2011年版)》对该“基本事实”的要求是“掌握”，“掌握”是描述结果目标的行为动词，意思是在理解的基础上，把对象用于新的情境.这其中包括两个要求，一是能描述对象的特征和由来，能阐述此对象与相关对象的区别和联系；二是能应用.两者都要兼顾，不能偏废.教材处理方式是设计“尝试和交流”活动，也就是课例中的环节1，目的是让学生经历多次测量、计算、探究、猜想，归纳概括出“基本事实”.利用练习本中的平行线探究，体现数学与生活有密切联系，让学生在生活中学会观察、学会发现问题；测量是认识图形的一种方式，对测量结果进行计算、估测，能培养学生的数感；由图形到数量关系，能培养学生数形结合的思想.

综合以上认识，笔者认为教材对该“基本事实”没有证明，一方面源于对所有“基本事实”一以贯之的考虑，另一方面较难实现教学自然.教者对教材内容的“创新”是可以的，但“创新”之前首先要思考“创新”的目的是什么？如果仅仅是告诉学生该结论是正确的，那毫无价值；如果是借机让学生经历完整的推理过程(合情推理和演绎推理)，培养理性精神，积累科学探究的经验，学会思考，那就是好的“创新”.

(2)加强“先行组织者”的使用，过程和结论并重

“重结果轻过程”是当前教学中经常出现的问题.忽视过程的结果，学生不能真正理解，不能与现有的知识构成联系，导致知识零散，学生认知结构缺乏整体性.忽略过程的教学，表面上节约了时间，学生有大量的时间进行结论应用.实际上，当面对不同情境，因为学生对结果一知半解，往往不能透过现象看本质，应用性大打折扣.数学结论发现的过程，可以加强“先行组织者”的使用，挖掘其中蕴含的数学思想.因为思想是灵魂，是数学素养的源泉，有了数学思想方法的支撑，才能灵活应用数学知识解决问题.数学教学要成为提升数学素养的舞台，成为培养理性思维的主阵地，必须要遵循过程和结论并重的原则.

本课例中教者对“基本事实”的证明真可谓是“空降”，笔者思考能不能基于学生已有的认知，设定一定的问题，让面积法“证明”自然落地.

①我们学过哪些与平行线有关的概念、结论？(师生可以共同回忆，构建知识结构)(先行组织者)借助平行线间距离相等，可以构造面积相等的三角形(如图3).

图3

②如图4，作直线BC、EF，使它们相交于点A，你还能找到哪些面积相等的三角形？

图4

③通过三角形面积关系，你能发现线段AB、BC、AE、EF之间的关系吗？

④如图5，过点A作一条直线与直线BE平行，平移直线EF与所画直线交于点D，线段AB、BC、DE、EF之间的关系还成立吗？

图5

⑤如图5，你能用面积法直接证明线段AB、BC、DE、EF对应成比例吗？

⑥图5中，还有线段对应成比例吗？

问题①回顾“平行线”相关知识，一方面，构建知识网络，将新知纳入知识体系，培养系统思维；另一方面，“平行线间距离相等”能构建面积相等的三角形，为证明该“基本事实”发挥“先行组织者”的作用.接着将图形变换，目的是给学生证明“基本事实”搭建“脚手架”，培养学生几何直观和空间观念，感悟特殊到一般、转化的数学思想.最后再用面积法直接证明，强化面积法的通性，培养严密逻辑思维.

(3)加强习题选择和编制

学习概念、定理、结论之后，一般要设计几道习题，目的是使学生加深对新概念、新定理的理解，训练、培养和发展学生的基本技能和能力，及时发现和弥补教学中的遗漏和不足，培养良好的学习习惯和品质[2].习题的选择要遵循精准、典型、适度、适切等原则，还要按一定层次编排，由浅入深，循序渐进.好的习题具备一定逻辑性，蕴含数学思想，贯穿知识间的联系，承上启下.课本中的例题一般都是精选，习题编制，不妨从课本例题着眼，适当拓展延伸.本课例中，教者在归纳出“基本事实”之后，设计了6道问题，前3道题是由平行线找比例线段，后3道是求线段长，6道问题中涉及两条平行线、三条平行线、平行四边形、八字形，从整个习题选择和编排来看，教者考虑了习题的多样性、层次性，但缺乏整体性、典型性和适度性，另外，因为此处花费时间过多，导致例题教学匆忙，没有能完整完成教学任务.

笔者思考本节课的习题能不能如此设计：

例1 如图6，l1∥l2∥l3，直线a、b与直线l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F.设AB=3，BC=5，DE=4，求EF的长.

图6

变式1若AB=3，BC=5，DF=4，求EF的长.

图7

例2 如图8，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC.试说明△ADE与△ABC相似.

图8

思考题：在例2中，如果我们在△ABC外作一个三角形与△ADE全等，那么所作的三角形与△ABC有何关系？结合三角形全等的条件猜想三角形相似的条件，并尝试证明.

例1原题是对“基本事实”的直接应用，变式1在原题基础上融入了方程思想，前两个问题是求截线上的线段长，变式2是求被截线上的线段长，需要构造平行线，体现转化思想.例2是课本上的例题，主要是引导学生发现结论：“平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”.如果直接讲解，较为抽象，学生很难想到构造平行线，设计例1中的变式2，从求具体线段长入手，降低思维难度，同时让学生感受特殊到一般的研究策略.例2还有一个作用是为推证相似三角形的判定定理奠定基础，这一点被很多老师忽视，相似三角形判定定理的证明都是添加平行线，构造全等，将问题转化成例2，所以设计思考题一方面让学生感受知识之间的联系，又为学生提供了自主学习的素材，让学生学会思考、学会学习.

(4)加强信息技术与教学内容的有效融合

在国家中长期教育改革和发展规划和发展规划纲要(2010-2020年)中，对“教育信息化”已作了全面部署，要求以教育信息化促进教育内容、教学手段和方法的现代化.课标也明确提出了数学教学应用信息技术的要求.实际教学中，因为教师对信息技术的定位不准确，信息技术往往沦为加大教学容量，快速展现教学内容的工具.数学是抽象的，思维是复杂的，信息技术与教学内容整合，目的是呈现教学中难以呈现的教学内容，化抽象为直观，引导学生探索发现结论.例如本课例让学生通过测量、计算发现结论，为了让学生有更深刻的认识，学生操作结束，教者可以用几何画板演示，不断改变平行线的位置，利用计算工具，计算对应线段的比，观察比值之间的关系，这样更有利于发现规律，概括问题的本质.