江苏省新海高级中学 (222006) 徐 方 江苏省连云港市锦屏高级中学 (222021) 殷长征

1 问题提出

解析几何突出考查学生的运算能力，在教学过程中学生普遍反映运算量大，教师也说难教，解析几何是高中数学教与学绕不开的一道思维坎：由于不良的思维习惯导致在思维过程中对正确思维的抑制而作用产生的思维定势，具体表现为：将用代数方法解决几何问题简单地理解为运算，忽视对图形几何特征的挖掘和对曲线概念的合理利用，没有真正领悟解析几何的思维方法—先形后数.

针对上述思维坎形成的原因应该采取什么样的跨越策略？教学实践证明，“回归教学原点”是预防思维定势最有效的策略.这里的教学原点，一方面是指试题涉及的概念、公式、定理、基本数学思想方法等核心知识；另一方面是指试题的题型和试题求解过程中涉及的数据、结构、待求待证以及由已知得到的推论等[1].

2 教学实践

2.1直观猜想 定义证明

解析法是解决解析几何问题的通法，教学中教师往往也会忽视对图形几何特征的挖掘，都习惯用代数运算取代几何证明，时间久了学生很容易产生思维定势—几何问题代数化，导致简单问题复杂化解不出结果，没有真正领悟解析几何的本质是几何问题，近几年的高考命题明显加强在与平面几何知识交汇处命制试题，解答此类试题图形的几何性质往往能起到一锤定音的作用.

图1

图2

评注：方法一就是忽视解析几何“形”的特征，受思维定势的影响直接把点看成是直线与曲线的交点而代数化，虽然运算过程不算复杂，学生经过运算也能得出正确结果，但要耗费不少时间，说明学生没有真正弄清楚命题者的意图：考察学生读题、审题，通过直观观察产生猜想DF1//BF2，引发学生从平面几何的角度去观察图形，利用点在曲线上的几何意义去证明线线平行，从而达到以证代算的目的.

2.2 多元表征 合理转化

求直线与椭圆交点坐标主要有两种化归的路径：一是转化成平面几何问题来求解，二是通过联立方程组来运算求解.化归方式的不同，产生的分析问题与解决问题的思路就不同，运算的繁杂程度就会差异很大，所以采取对问题条件进行多元表征，合理选择转化路径，有助于克服思维定势提升学生分析问题、解决问题的能力.

解析：如图3，设线段PF的中点为M，椭圆的右焦点为F1.

图3

图4

评注：本题通过感知(点、线、椭圆、圆)操作(辅助线)，可得点P(x0,y0)在椭圆上这个条件可以有以下三种等价转化路径：(1)P点满足椭圆定义|PF1|+|PF|=2a；(2)P点满足统一定义|PF1|=a+ex0；(3)P点是两条曲线的交点.法1、法2运用解析法把P点看成是两条曲线的交点，通过联立方程组求点P的坐标，再用代数运算求直线斜率，思路简单，学生也容易想到但运算量偏大.而法3、法4借助辅助线，利用椭圆定义和圆的几何性质就起到四两拨千斤的效果.

3 结语

用几何法求解解析几何问题的优点是简洁、运算量小，但需要高层次的思维活动才能完成，学生没有养成先形后数的思维顺序分析问题的习惯与教师偏重用代数法解决解析几何问题有关系，因此突破学生思维定势困境的有效策略就是在教学过程中要改变注重解析法，忽视几何法的不良习惯，回归圆锥曲线的定义，以几何图形的几何性质作为切入点，探索解题的最佳路径，优化运算过程，提高学生的直观想象、数学运算等核心素养.