江苏省太仓市第一中学 (215400) 朱建良

探索数学的本质是数学教学的真谛，学生经历探究过程，感悟知识的发现发生过程，揭示数学本质才是数学教学的灵魂所在.在日常教学中，教师应回归教材，在理解教材的基础上，精心设计问题情境，基于学生的思维而生成拓展新问题，通过剖析问题本质，唤醒学生辩证认识“数”与“形”的内在联系，通过变式问题引导学生自觉探究思辨，生成经验.本文笔者结合教学案例谈谈新授课中尝试引导学生感悟问题本质，获得认知数学方法的一些理解，以求抛砖引玉.

1.教学分析

1.1 教材解析

教学内容为苏科版九年级上册§5.4 二次函数与一元二次方程(第1课时)，§5.1-5.3所学的二次函数是初中数学教学的重难点，本课时借助二次函数图像解决一元二次方程求根问题，其方法比较抽象，要求学生积累抽象函数本质特征所需的知识和经验，要求会用数形结合的方法解决问题，本节课揭示了方程、函数、不等式之间的内在联系，为后阶段高中数学学习起着承前启后的桥梁作用.

1.2 学情分析

九年级学生接受能力强，思维活跃，具备了一定的数学探究活动经历，学生已经掌握了不同类型的方程的解法及其应用，掌握了研究函数的图像和性质以及函数的应用的一般方法，有较强的推理分析能力，为顺利完成本课学习打下了扎实的基础.从学生有待于提高的知识和技能来看，尝试通过探索函数与方程关系，感受“对立统一”的唯物辩证法，通过由图像求方程的根的探索活动，培养学生“数形结合”探讨问题的研究能力.

1.3 教学目标

(1)理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；

(2)能够根据二次函数的图像与x轴的交点情况判断相应的一元二次方程根的情况；

(3)理解二次函数、一元二次方程之间的相互联系，用对立统一的辩证观点体会数形结合思想的应用.

1.4 教学重点

应用一元二次方程根的判断式及求根公式，对二次函数图像进行再研究，并结合二次函数图像加以记忆，基于通过“形”的视角，理解二次函数和一元二次方程的内在联系，学会从二次函数图像深度理解一元二次方程根的几何特征.

2.教学设计简析

2.1 知识连接点处，明晰概念

教育价值是教学设计的灵魂，也是教学逻辑的起点，提出一次函数与一元一次方程的辨析反思问题.在困惑思辨中，引导学生产生疑问，产生认知冲突，提出的问题从字母x表示的意义入手，问题驱动思考，直击数学本质，即函数研究变量x与y的对应关系，方程研究未知与已知量之间的相等关系，求方程解.

(2)一次函数y=kx+b(k≠0)、关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)分别建立了哪些量之间的关系？它们各自考虑问题的出发点有什么不同？

(3)一次函数与一元一次方程存在什么联系？

教后反思：一次函数中x表示未知数，函数刻画的是变量x、y的变化规律，方程寻求的是相等关系下未知数与已知量之间的数量关系，即方程的解，在概念辨析中挖掘研究对象的问题价值，尊重学生的认知，围绕学习目标，关注了思维价值.问题1低起点、缓坡度，较好地体现了函数、方程与不等式之间的关系 ,突出了新课程注重基础、关注联系与综合的特点.

2.2 经验连接点处，经历转化

通过类比，巧妙过渡，顺理成章地运用解决一次函数与一元一次方程数形结合的方法，分别研究二次函数y=x2-2x-3，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2图象与x轴交点坐标与分别相对应的一元二次方程x2-2x-3=0，x2-2x+1=0，x2-2x+2=0的根的情况，从学生已有的认知，活动经验出发，化复杂为简单，化未知为已知，用数形结合的经验即利用抛物线与x轴交点的个数来判定相对应的一元二次方程解的情况，从整体关联的视角认识一元二次方程与二次函数联系.

问题2 分别在三个平面直角坐标系中，画出二次函数y=x2-2x-3、y=x2-2x+1、y=x2-2x+2的图像.观察思考：

(1)分别判断一元二次方程x2-2x-3=0、x2-2x+1=0、x2-2x+2=0根的情况？

(2)你能利用图像解析一元二次方程的根的不同情况吗？

(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和x轴交点的坐标与关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有什么关系？

解析：(1)分别计算根的判别式△；(2)鉴别关注抛物线与x轴交点的个数；(3)当△>0时，分别对应该一元二次方程有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△<0时，没有实数根.

教后反思：判断一元二次方程根的情况，引导学生怎么想到利用图像法判断？为什么要这样？一定要这样吗？有方法层面比较后的思考吗？引导学生自主建构增强学生的应用意识,，同时把数形结合思想反映得淋漓尽致，数学课堂知识、方法、结构如下图.

2.3数形结合，优化思维

看“形”思“数”，见“数”想“形”.把握学生思维的切入点，启发学生自己画出抛物线并观察思考，如何确定二次函数y值的非负性，关键取决于对y=ax2+bx+c中的系数a的符号判定，及△=b2-4ac的值，在分类讨论中，真正理解一元二次方程根的几何意义，实质就是以“数”化“形”，尝试从函数内部特征挖掘出有价值的新问题，揭示出函数、方程之间的联系.

问题3 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)及其分别对应的图像如图1，图2，图3，对称轴为直线x=3.

图1 图2 图3

(1)观察三个图像，设y=0，分别观察抛物线上纵坐标为0的点在哪里？你能解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0吗？如图3，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围？

(2)类比上述问题，请提出新问题探究讨论.

解析：当x=3时，ymax=-1，即m<-1，也可转化为ax2+bx+c=m，研究抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m的交点入手，研究交点坐标的意义，也可通过平移抛物线y=ax2+bx+c-m的角度讨论m的取值范围.此问题也可变式为：关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有实数解，求m的最大值？

教学反思：读懂图中有效信息，展开对比式训练, 拉近点状知识间的距离, 寻找不同问题之间的内在联系，让学生感悟研究问题的方法不变，从函数、方程、不等式的角度，在自然的探究活动中体会到其中内涵，这种由浅入深、由易到难,，循序渐进的设计中，学生整体感受了其内在联系，“类比“和“抽象”的思想也得到了自然渗透.

2.4 沉淀思维，提炼方法

变式问题，螺旋式递进，设计抛物线y=x2-4x+k+2与x轴交点问题的变化，引发学生思考，依据条件，尝试构造图形，由“形”的直观变为“数”的严密，巧妙转化，探求结论，以“数”化“形”，以“形”变“数”相结合，关注在探究活动中生成的问题，聚焦在解决问题时学生产生的疑惑.

问题4 已知二次函数y=x2-4x+k+2，若该二次函数的图像与x轴有公共点，求k的取值范围？

此题易解且有如下变形：

变式1k为何值时，该二次函数的图像与坐标轴有两个交点？

变式2k为何值时，该二次函数的图像与x轴两交点间的距离为2？

变式3k为何值时，该二次函数图像顶点到x轴的距离为2？

拓展1 若二次函数y=x2-4x+k+2的值恒大于零，求k的取值范围？

拓展2k为何值时，抛物线y=x2-4x+k+2与直线y=x-1只有一个交点？

教学反思：由抛物线y=x2-4x+k+2与x轴的交点问题的讨论拓展到该抛物线与直线y=x-1交点问题的研究，再次强化逐步分解问题，关注解决问题的方法策略，即抛物线与x轴有无交点，怎样通过交点问题研究一元二次方程的解，让学生的数学理解逐步深刻，由低价思维走向高阶思维，思维训练拾级而上.

2.5 延伸探究，巩固提升

深度学习是一个由薄到厚，再由厚到薄的再创造过程，在明晰求解一元二次方程解的基础上，类比相关概念，寻找解决问题的突破口，正确理解抛物线与x轴交点所对应的一元二次方程解的内在联系.

问题5(1)函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=x的图像如图4所示，以下结论正确的是：①b2-4c>0；②b+c+1=0；③ 3b+c+6=0；④ 当1

图4

(2)已知点A(1,1)在二次函数y=x2-2ax+b的图像上.

①用含a的代数式表示b；②如果该二次函数的图像与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图像的顶点坐标.

解析：(1)③、④；(2)①b=2a，(2)②y=x2-2ax+2a，当a=0时，y=x2，顶点(0,0)，△=4a2-8a=0，当a=2时，y=x2-4x+4，顶点(2,0).

教学反思：通过延伸探究，整合函数知识体系，强化对方程求解问题表征的理解.充分利用抛物线、直线的性质和几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，然后进行推理计算，优化重组原有知识结构.

3.教学反思

3.1从溯源开始，揭示本质

本课例从分析函数图像上特殊点对应的坐标特征入手，从学生已有的函数认知水平出发，由浅入深，由表及里，寻求一元二次方程的解，类比抽象出一般方法，引导学生深刻理解由函数图像生成求方程根的方法，领悟二次函数图像与x轴交点的结构关系本质，问题设计层次感强，探究路径清晰，既重视了数学知识阶段学习的梳理与归纳，也注重了学生数学思维的启发和点拨，突出了崇尚严谨推理和理性思考的精神风貌.

3.2从“双基”向“四基”转变，引领探究过程

义务教育课程目标强化了课堂学习要发展学生的能力性目标，本课例的问题设计从一次函数与一元一次方程的联系类比到二次函数与一元二次方程的联系，在学生认知困惑处设疑问难，深刻理解二次函数图像和性质.梳理特殊点的坐标与方程解的对应关系，探究出函数、方程、不等式三者之间的内在联系，问题的设计遵循启发性原则，让学生经历数学知识的发展、发生过程，在有效探究活动中，让学生深刻体会一般与特殊，数形结合，转化等数学思想，抽丝剥茧般的问题串驱动学生综合所学的知识去理解函数思想、方程思想，并分析和解决问题，由此提升学生的数学素养.

3.3从“理解教学”入手，有效衔接“教”与“学”

本课例关注了教学内容“数”与“形”相融的特点，关注学生对函数图像的认知现实，注重学生的自主探究与教师引导的相互渗透和互相促进，基于抛物线与x轴交点形态设计问题，通过平移抛物线变化交点坐标位置，深化问题，拓展思维空间，引导学生学会自主探究二次函数图像与x轴交点的几何特征，学会转化，学会从“数”与“形”的视角深刻理解二次函数与一元二次方程之间的横向联系，掌握从函数图像的视角去解决求方程解的方法.深刻理解感悟一元二次方程的根可能出现不同情况的原因，并提炼出关于一元二次方程的根可能出现情况的几何形态的解释，教学设计循序渐进，问题引领下的“学”更具研究性和发展性，提升了学生的研究能力.

本课例以数学知识的发展过程和学生认知发展的心理过程为主线，构建了过程性的探究活动，学生在建构数学知识的过程中学会发现和分析问题，学生在思考、交流、发现、理解中剖析问题本质，学会了借助形的几何直观性来刻画阐述数之间的某种数量关系，深刻理解了“以形助数”或“以数解形”的内涵，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，开拓了学生的思维视野.