李 静，程 磊

(信阳学院 数学与统计学院，信阳 464000)

0 引言

中国古代的“物不知数”问题[1]在国际上被称为“中国剩余定理”，南宋时期的数学家秦九韶给出了求解此类问题的方法“大衍求一术”，这一解法从根本上解决了关于一次同余式组的一般问题。本文首先给出了中国剩余定理的一般形式，接着将这一定理推广到多项式形式，最后通过举例阐述了中国剩余定理在多项式理论中的部分应用。

1 一般形式

定理1(中国剩余定理)[2]设正整数m1,m2,…,mk两两互素，则对于任意的k个正整数a1,a2,…,ak，一次同余方程组

都有整数解，并且在模m=m1m2…mk下这个解是唯一的，即任意两个解都是模m同余的。

2 多项式形式

引理1设某个数域上的多项式p1(x),p2(x),…,pn(x)两两互素，证明存在多项式fi(x)(1≤i≤n)，使得

证因p1(x),p2(x),…,pn(x)是两两互素的，故当j≠i时，

gcd(pj(x),pi(x))=1

因此

从而存在多项式ui(x),vi(x)，使得

定理2(中国剩余定理的多项式形式)[3]设某个数域上的多项式p1(x),p2(x),…,pn(x)两两互素，且它们的次数依次为m1,m2,…,mn。证明对该数域上的任意n个多项式f1(x)，f2(x)，…，fn(x)，存在唯一的次数小于m1+m2+…+mn的多项式f(x)，使得对每个1≤i≤n，均有

f(x)≡fi(x)(modpi(x))

证由引理1可知：对每个1≤i≤n，存在多项式gi(x)，使得

现记

F(x)=f1(x)g1(x)+f2(x)g2(x)+…+

fn(x)gn(x)

此时有

F(x)≡fi(x)(modpi(x))i=1,2,…,n

做如下带余除法运算

其中f(x)的次数

且对每个1≤i≤n，均有

f(x)≡F(x)≡fi(x)(modpi(x))

再证唯一性：

假设g(x)也满足定理中的条件，则

pi(x)|f(x)-g(x) 1≤i≤n

注意到p1(x),p2(x),…,pn(x)是两两互素的，可得

又因为

所以必有

f(x)-g(x)=0

即g(x)=f(x)。

3 在多项式理论中的应用

例1[2]拉格朗日插值公式：设a1,a2,…,an是有理数域(或实数域)上的n个不同的数，则对该数域上的任意n个数b1,b2,…,bn，都存在唯一一个次数小于n的多项式

适合条件

L(ai)=bi，其中 1≤i≤n。

证取多项式

p1(x) =x-a1

p2(x) =x-a2

⋮

pn(x) =x-an

它们是两两互素的。……