申梅， 薛博文， 李毅伟

1.山西农业大学数学系，山西 太谷 030801;2.山西农业大学软件学院，山西 太谷 030801

0 引言

回顾历史,传染病一直是困扰人类生存的大敌.因此,对传染病的研究显得尤为重要.在现实生活中传染疾病的传播途径不仅包括接触方式传染,还可通过垂直方式传染.另一方面,为了控制疾病的流行,常常需要对易感染者注射疫苗,因而许多学者在传染病模型中考虑了免疫接种.其次,接触率在传染病方面起着关键的作用.通常,采用标准发生率和双线性发生率.而饱和发生率是介于标准发生率和双线性发生率之间的,并且更符合实际.

在这些事实的基础上,文献[1]研究了一类具有垂直传染率的SIS模型的平衡点的稳定性.文献[2]考虑了一类具有垂直传染和预防接种的SEIRS传染病模型的稳定性.文献[3～5]研究了一类具有饱和传染率、免疫接种和垂直传染的SIR传染病模型平衡点的稳定性.

基于上述考虑,本文讨论了一类具有饱和传染率、垂直感染和免疫接种的SEIRS传染病模型.

1 模型的建立

(1)S,E,I,R分别表示易感染者类、潜伏者类、染病者类和移出者类的数量,并且潜伏期的潜伏者是无传染力的,则t时刻总人口数量为N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t).

(2)A是对总人口数的输入项,并且假设输入项均为易感染者;β是传染率;μ是潜伏者类转化为易感染者类的转化率;γ是恢复率;c是因病死亡率;m是易感染者类的垂直传染率.

(3)p是对易感染者、潜伏者和恢复者的新生婴儿及感染者中没有被母体感染的新生婴儿进行预防接种的比例.

(5)b,d分别表示自然出生率和自然死亡率,假设b0.

根据上面的假设,本文考虑了一类具有饱和传染率、垂直感染和免疫接种SEIR的传染病模型:

(1)

由于N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t),则总人口数方程

N′(t)=A+(b-d)N(t)-cI(t)

(2)

结合(2),系统(1)等价于系统

(3)

2 平衡点的存在性

N*是方程

证明 令方程组(3)的右端等于0,则有

(4)

(5)

由(5)可得I=0或

(6)

(ii)当I≠0时,由(4)和(6)可得

(7)

由(7)的后三个方程解得

将上面三个方程代入(7)的第一个方程可得

定义

因为b0,故pb0,d-b>0,所以f′(N)≥0.从而f(N)关于N是单调不减函数.又由于

3 平衡点的稳定性

记

易知J0的特征值即为B1、B2的特征值,又B2的特征值为λ1=-d<0,λ2=b-d<0,因而只需要讨论B1的特征值是否全部具有负实部.由于trB1=-(d+μ)-k<0,|B1|=k(d+μ)[1-R0],从而当R0<1时,|B1|>0;R0>1时,|B1|<0.所以当R0<1时,P0是局部渐近稳定的;当R0>1时，P0是不稳定的.证毕.

定理3当R0>1时,地方平衡点P*(E*,I*,R*,N*)是局部渐近稳定的.

证明 系统(3)在地方平衡点P*(E*,I*,R*,N*)处的Jacobi矩阵为

特征方程为λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0.其中

a3=kd(d-b)+(d+μ)d(d-b)+[d(d-b)+k(2d-b)+μ(c+2d-b-pbm+γ)]

a4=kd(d-b)(d+μ)+[kd(d-b)+μc(d-pb)+μ(d-b)(d-pbm+γ)]

故H1=a1>0,

H2=a1a2-a3=(2d-b)a2+(k+d+μ)[a2-d(d-b)]

由于

>d(d-b)+(k+d+μ)(2d-b)+k+2d-b+μ

故

a2-d(d-b)-k(2d-b)-μ(c+2d-b-pbm+γ)

>(d+1)(2d-b)+d-mb+μ(1+pbm)(1-μ)(c+γ)>0

所以H2>0,从而H3=a3H2>0,H4=a4H3>0,因此由Hurwitz定理[6]知,矩阵J1的所有特征值都具有负实部,所以当R0>1时,地方平衡点P*(E*,I*,R*,N*)是局部渐近稳定的.证毕.