王 丹, 李永祥

(西北师范大学数学与统计学院, 兰州 730070)

1 引 言

本文讨论二阶非线性常微分方程组边值问题

(1)

解的存在唯一性, 其中非线性函数f,g:[0,1]×R×R→R连续.作为生物种群的常用数学模型,该问题在生物数学等领域有重要应用,不少作者对该问题正解的存在性进行过研究[1-10].常用研究方法主要有文献[1,5,7-10]中的锥上的不动点指数理论, 文献[2-3]中的锥上不动点定理, 以及文献[4,6]中的单调迭代求解方法，等.

1993年，Fink和Gatica[1]运用锥上的不动点指数理论, 在f与g严格单调条件下获得了边值问题

非负解的存在性. 后来, Ma[2]将上述条件弱化为单调条件, 通过举例得到了问题(2)新的非负解的存在性结论. 文献[3]研究了边值问题

(3)

(该问题的非线性项都是非负的)，在超线性或次线性的条件下获得了正解的存在性. 在上述文献中, 系统正解的存在性均被转化为乘积空间中单锥上相应全连续映射的不动点的存在性.此外，Cheng等[7-10]建立了乘积锥上不动点指数的乘积公式 (见文献[7]中定理2.1), 运用不动点指数的乘积公式在一些超(次)线性假设下获得了几类不同形式的边值问题正解的存在性, 推广了以上结论.

鉴于以上文献都在非线性项f与g各自独立的条件下讨论方程组非负解或正解的存在性，本文则不假设f与g非负, 在f(t,x,y)与g(t,x,y)相关联的不等式条件下运用Leray-Schauder不动点定理获得问题(1)解的存在唯一性. 本文的主要结果如下：

定理1.1设f,g:[0,1]×R×R→R连续.若f,g满足下列条件：

(H1) 存在常数a,b≥0使得a+b<π2及c>0, 使得

f(t,x,y)x+g(t,x,y)y≤

ax2+by2+c,(t,x,y)∈[0,1]×R×R

(4)

则问题(1)至少存在一个解.

加……