李婷婷，包玉娥

（内蒙古民族大学 数理学院，内蒙古 通辽 028043）

关于模糊映射的可微性问题的研究中，有利用模糊数的H-差运算［1］给出的H-可微性概念［2］和利用模糊数的gH-差运算［3］给出的gH-可微性概念［4］.2003年，WANG等［5］给出了模糊映射的H-方向可微性概念，研究了凸模糊映射的方向导数的刻划和存在性问题.2013年，BEDE等［4］给出了模糊映射的gH-可微性和LgH-可微性（gH-截可微性）概念及一系列相关性质，讨论了模糊映射的gH-可微性与积分之间的关系.文献［6］和文献［7］分别讨论了区间值映射的gH-方向可微性和模糊映射的gH-方向可微性问题，给出了区间值映射的gH-方向可微性概念和模糊映射的gH-方向可微性概念，得到了一些有意义的结论.在此基础上，给出了模糊映射的LgH-方向可微、LgH-偏导数和LgH-梯度的概念，讨论了模糊映射的LgH-方向可微性与区间值映射的gH-方向可微性以及端点函数的方向可微性之间的关系，证明了模糊映射的LgH-导数和LgH-偏导数均为模糊映射沿坐标轴方向的LgH-方向导数.

1 预备知识

定义1.1［8］设R为实数集，如果模糊集u:R→[0,1]满足下列4个条件：

（1）u是正规模糊集，即存在x∈R使得u(x)=1；

（2）u是上半连续函数；

（3）u是凸模糊集，即对任意的x,y∈R，λ∈[0,1]，有

（4）u的承集是紧集.

则称u为R上的模糊数，记ℱ为R上的所有模糊数构成的集合（即模糊数空间）.对u∈ℱ，u的α-截集（α∈[0,1]）是一个有界闭区间

对于u,v∈ℱ及r∈R，模糊数空间ℱ上的加法运算和数乘运算定义如下：

对于u,v∈ℱ，采用的u与v之间的距离公式为

设M为Rn中的一个非空子集.将M到ℱ的映射称为模糊映射，记为F:M→ℱ.对α∈[]0,1，可以得

到与模糊映射F:M→ℱ相对应的一族区间值映射x∈M.

其中，（1）[R]表示R上的所有有界闭区间构成的区间数空间；

定义1.2［3］对于u,v∈ℱ，如果存在w∈ℱ，使得u=v+w或v=u+(-1)w，则称u与v的广义H-差（即gH-差）存在，记为w=u⊖gHv.

如果u⊖gHv存在，则对α∈[]0,1，有

性质1.1［3］对于，如果ugHv存在，则对r∈R，有ru⊖gHrv也存在，且

对y∈Rn，记ye为y的单位向量.

定义1.3［7］设为模糊映射，x∈M.如果对y∈Rn，存在δ>0，使得对任意h∈()0,δ，有x+hye∈M(x-hye∈M)且gH-差存在，同时存 在使得

则称F在x处沿y方向右（左）gH-方向可微，称u+(u-)为F在x处沿y方向的右（左）gH-方向导数，并记为

定义1.4［6］设f:M→[R]为区间值映射，x∈M.如果对y∈Rn，存在δ>0，使得对任意h∈(0,δ)，有且存在，使得

则称f在x处沿y方向右（左）gH-方向可微，并称A+(A-)为f在x处沿y方向的右（左）gH-方向导数，记为

定理1.1［6］设f:M→[R]为区间值映射，.如果f在x处沿y方向gH-方向可微，并且存在δ>0，使得对h∈(0,δ)，有则，其中和分别为和在x处沿y方向的方向导数.

定义1.5［4］设F:(a,b)→ℱ为模糊映射，x∈(a,b)且x+h∈(a,b).如果存在u∈ℱ，使得

则称F在x处LgH-可微，且u称为F在x处的LgH-导数，并记为FLgH(x)=u.

2 主要结果

定义2.1设F：M→ℱ为模糊映射，x∈M.如果对y∈Rn，存在δ>0，使得对h∈(0,δ)，有x+hye∈M(x-hye∈M)且gH-差存在，同时存在u+∈ℱ(u-∈ℱ)使得对α∈[0,1]有

则称F在x处沿y方向右（左）截gH-方向可微（简记为LgH-方向可微），称u+(u-)为F在x处沿y方向的右（左）截gH-方向导数，并记为

定理2.1设F:M→ℱ为模糊映射，x∈M，y∈Rn.

（1）如果F在x处沿y方向右（左）gH-方向可微，则F在x处沿y方向右（左）LgH-方向可微且

（2）如果F在x处沿y方向gH-方向可微，则F在x处沿y方向LgH-方向可微且

证明（1）设F在x处沿y方向右（左）gH-方向可微，则对x∈M，y∈Rn，存在δ>0，使得对h∈(0,δ)，有x+hye∈M(x-hye∈M)且gH-差存在，同时存在，使得对α∈[0,1]有

所以，根据定义2.1可得F在x处沿y方向右（左）LgH-方向可微且

（2）设F在x处沿y方向gH-方向可微，则有.又 由（1）知.于是有.所以，F在x处沿y方向LgH-方向可微且

定理2.2设F:M→ℱ为模糊映射，x∈M，y∈Rn，α∈[0,1].

（1）如果F在x处沿y方向右（左）LgH-方向可微，则区间值映射Fα:M→[R]在x处沿y方向右（左）gH-方向可微且

（2）如果F在x处沿y方向LgH-方向可微，则区间值映射Fα:M→[R]在x处沿y方向gH-方向可微且

证明（1）设F在x处沿y方向右（左）LgH-方向可微，则对x∈M，y∈Rn，存在δ>0，使得对h∈(0,δ)，有且gH-差存在，同时存在，使得对α∈[0,1]有

由定义1.2有

所以，根据定义1.4可得区间值映射Fα在x处沿y方向右（左）gH-方向可微且

（2）设F在x处沿y方向LgH-方向可微，则对x∈M，y∈Rn，存在δ>0，使得对h∈(0,δ)，有，且gH-差存在，同时存在，使得对α∈[0,1]有

由定义1.2有

所以，根据定义1.4可得区间值映射Fα在x处沿y方向gH-方向可微且

定理2.3设F:M→ℱ为模糊映射，

（1）如果F在x处沿y方向右LgH-方向可微，并且存在δ>0，使得对h∈(0,δ),α∈[0,1]有，则区间值映射Fα的两个端点函数和在x处沿y方向的右方向导数均存在，并且，其中和分别为和在x处沿y方向的右方向导数.

（2）如果F在x处沿y方向左LgH-方向可微，并且存在δ>0，使得对h∈(0,δ),α∈[0,1]有，则区间值映射Fα的两个端点函数和在x处沿y方向的左方向导数均存在，并且，其中和分别为和在x处沿y方向的左方向导数.

（3）如果F在x处沿y方向LgH-方向可微，并且存在δ>0，使得对h∈(0,δ),α∈[0,1]有则区间值映射Fα的两个端点函数和在x处沿y方向的方向导数均存在，并且，其中和分别为和在x处沿y方向的方向导数.

证明（1）设F在x处沿y方向右LgH-方向可微，则对x∈M，y∈Rn，存在δ>0，使得对h∈(0,δ)，有x+hye∈M且gH-差存在，同时存在，使得对α∈[0,1]有

由定义1.2及性质1.1有

（2）和（1）的证明相同，从略.

（3）设F在x处沿y方向LgH-方向可微，则对x∈M，y∈Rn，存在δ>0，使得对h∈(0,δ)，有x+hye,x-hye∈M且gH-差存在，同时存在，使得对α∈[0,1]有

定理2.4设F:(a,b)→ℱ为模糊映射，则F在x处沿y=1方向LgH-方向可微当且仅当F在x处LgH-可微且FLgH(x)=FLgH(x,1).

证明必要性 设F在x处沿y=1方向LgH-方向可微，则存在δ>0，使得对h∈(0,δ)，有x+h,x-h∈(a,b)且gH-差存在，同时存在FLgH(x,1)∈ℱ使得对α∈[0,1]有

由于

于是有

从而有

所以，根据定义1.5可得F在x处LgH-可微且

充分性 设F在x处LgH-可微，则存在，使得对α∈[0,1]有

即存在δ>0，使得对h∈(0,δ)，有x+h,x-h∈(a,b)且gH-差存在，由必要性的证明过程可知

于是有

从而有

所以，根据定义2.1可得F在x处沿y=1方向LgH-方向可微且

定义2.2设F:M→ℱ为模糊映射，.如果模糊映射在xi处LgH-可微，则称F在x0处关于xi的LgH-偏导数存在，记为，且

定理2.5设F:M→ℱ为模糊映射，.如果F在x0处沿ei方向LgH-方向可微，则F在x0处关于xi的LgH-偏导数存在，且

证明设，则对α∈[0,1]有

由F在x0处沿ei方向LgH-可微，则有

于是有

所以，根据定义2.2有F在x0处关于xi的LgH-偏导数存在，且

定义2.3设F:M→ℱ为模糊映射，.如果F在x0的邻域内关于xi的所有LgH-偏导数都存在且连续，则称F在x0处LgH-可微，且其LgH-梯度为

推论2.1设F:M→ℱ为模糊映射，.如果F在x0处LgH-可微，则

证明设F在x0处LgH-可微，则

所以，根据定义2.3可得F在x0处的LgH-梯度可记为

3 结论

模糊映射的可微性是模糊分析学的重要概念之一，对模糊优化问题及模糊微分方程的研究起着关键的作用.对模糊映射的LgH-方向可微性问题进行了研究，讨论了模糊映射的LgH-方向可微性与区间值映射的gH-方向可微性以及端点函数的方向可微性之间的关系，得到了模糊映射LgH-方向可微的几个必要条件.将在接下来的研究工作中继续讨论模糊映射的gH-可微性及其在模糊规划中的应用问题.