洪勇，陈强，吴春阳

(1.广州华商学院应用数学系，广东广州511399;2.广东第二师范学院计算机科学系，广东广州510303;3.广东白云学院数学教研室，广东广州510450)

1.引言与预备知识

设r＞0，α∈R，分别定义序列空间与函数空间(0，+∞)为:

若分别定义级数算子T1与积分算子T2为：

则T1可实现序列空间到函数空间的映射，T2可实现函数空间到序列空间的映射.根据Hilbert型不等式的基本理论，式(1)等价于

因此半离散Hilbert型不等式的研究对于讨论T1与T2的有界性和算子范数具有重要意义.

设G(u，v)是λ阶齐次函数，λ1λ2＞0，则称K(n，x)=G(nλ1，xλ1)为拟齐次函数.显然拟齐次函数K(n，x)具有性质:对∀t＞0，有

若选择搭配参数a，b，根据Hlder不等式并利用权函数方法，可得下面形式的半离散Hilbert型不等式

一般地，任意选取的搭配参数a，b并不能使式(3)的常数因子M(a，b)最佳.只有选择特定的a，b，才能使M(a，b)是最佳值.目前，在国内外期刊中，许多的文献通过选取最佳的搭配参数，已获得了若干具有最佳常数因子的Hilbert型不等式.[1－10]本文对拟齐次核的半离散Hilbert型不等式，研究最佳搭配参数的充分必要条件，并讨论其在算子理论中的应用.

引理1设G(u，v)是λ阶齐次非负函数，设=1(p＞1)，a，b∈R，λ1λ2＞0，K(n，x)=+λ，K(t，1)t－aq在(0，+∞)上递减，记

则λ1W2(a，q)=λ2W1(b，p)，且

证由拟其次函数的性质，并根据有

故λ1W2(a，q)=λ2W1(b，p).

根据K(t，1)t－aq在(0，+∞)上递减，有

类似可证

2.最佳搭配参数的充要条件

定理1设G(u，v)是λ阶齐次非负可测函数，设=1(p＞1)，a，b∈R，λ1λ2＞0，K(n，x)=G(nλ1，xλ2)，=c，K(t，1)t－aq及K(t，1)t－aq+λ1c/p在(0，+∞)上递减，且

(ii)当且仅当c=0即+λ时，式(4)中的常数因子是最佳的.当c=0时，式(4)化为

证(i)以a，b为搭配参数，根据混合型Hlder不等式和引理1，有

故式(4)成立.

(ii)充分性:设c=0.由引理1，有λ1W2(a，q)=λ2W1(b，p)，从而同时由c=0还可得α=apq-1，β=bpq-1，故式(4)可化为式……