胡慧徳，程艳梅

(1．成都理工大学 数理学院，四川 成都 610059； 2．兰州理工大学计算机与通信学院，甘肃 兰州730050)

1.研究背景

形如Ax=b的离散不适定问题，由于矩阵A是不满秩的，即它的逆不存在，加之向量b被噪声污染，所以并不能直接求x得的解。正则化项的引入就是为了求解这类不适定问题：

等式(2)中，N(M)表示矩阵M的零空间。

固定优超最小化方法[1,2,3]可以将最小值问题转化为：

2.标准形的最小化问题

本节用正交投影[4]的方法将一般形式的最小化问题转化为相应的标准形[5]。引入正则化算子：

引入矩阵：

引入向量：

3.SA方法

本节提出一种改进的Arnoldi算法，简写为SA。SA方法用Arnoldi过程[6]求解转化为标准形的最小值问题(9)。

Arnoldi过程本身就存在一种分解：

其中且Vm+1的2-范数等于1。是一个上Hessenberg矩阵。让所以问题(10)变形为：

可以转化为下面的形式：

本文主要考虑下面的最小值问题：

4.数值实例

本节给出一个数值实例来验证算法1的效果。测试问题foxgood来自正则化工具箱[7]，foxgood是一个严重病态的不适定问题，它的小奇异值不满足Picard条件。

在图1中，x-true表示真实的数据，x-SA是由算法1计算的近似值。从图一中可以看出，x-SA与x-true基本重合。其中q取0.5，噪声水平为0.001，矩阵

图1 效果对比图

5.结论