张 政，柏仕坤，彭 皓

重庆师范大学数学科学学院,重庆,401331

随着医学、 生物数学、 经济学和现代物理及化学等学科领域的快速发展，大量由差分方程描述的数学模型被提出和研究， 例如： 复利的计算、 还款数量的确定、 经济效益的评估、概率的递推关系和种群数量变化的描述等。 近年来,有很多学者致力于差分方程(组)边值问题解的存在性及其性质研究，参见文献[1-7]。特别地，在文献[1]中作者运用锥上的不动点指数研究了二阶差分离散周期边值问题，获得了正解的存在的最优条件。在文献[2]中作者运用Leray-Schauder不动点定理，在权函数允许变号的情形下，讨论了二阶差分Dirichlet边值问题正解的存在性。

受上述文献的启发，本文研究如下二阶差分方程边值问题正解的存在性:

(1)

其中,Δu(k)=u(k+1)-u(k),Δ2=Δ(Δu(k))=u(k+2)-2u(k+1)+u(k),T1={1,2,…,T},并且非线性项f满足条件：

(H0)f∈C(T1×R+,R+)(R+:=[0,∞))；

对k∈T2一致成立；

(2)

通过运用不动点指数的缺方向性和同伦不变性，在相关算子第一特征值条件下获得问题(1)正解的存在性，推广和改进了近期这方面的一些成果。

1 预备知识

引理1边值问题(1)等价于[4]

(3)

其中

G(k,l)>0,G(k,l)=G(l,k),k,l∈T1,

(4)

则根据(H0)和G知A:P→P,且问题(1)正解的存在性等价于算子A正不动点的存在性。因此，转而研究算子A正不动点的存在性。

证明注意到u(0)=u(T+1)=0,G(0,l)=G(T+1,l)=0,由引理1(ii)知:

从而有

证毕。

(5)

(6)

2 主要结论

令引理4和引理5中的有界开集为Bρ={u∈P:||u||<ρ},ρ>0。

定理1若(H0)-(H2)成立，则(1)至少有一个正解。

证明根据条件(H1),存在ε>0,C1>0使得:

f(k,u(k))≥(λ1+ε1)u(k)-C1, ∀k∈T2,u∈R+。

在上式两边同乘φ(k)，然后再对其求和，由式(6)得到:

[(λ1+ε1)u(l)-C1]

(7)

根据引理4知:

i(A,BR∩P,P)=0

(8)

另一方面，由条件(H2)知,存在0

f(k,u(k))≤(λ1-ε2)u(k), ∀k∈T2,0≤u≤r

下证

(9)

若(9)不成立,则存在u1∈∂Br∩P和λ1∈[0,1],使得λ1Au1=u1。因此

u1(k)≤(Au1)(k)

在上式两边同乘φ(k),再对其求和,由式(6)得到: