徐 浩 司智勇

(1- 河南理工大学数学与信息科学学院，焦作 454000;2- 燕山大学信息科学与工程学院，秦皇岛 066000)

1 引言

Newton 迭代法是求解非线性方程组的一个重要方法，目前使用的很多其他类型的迭代法都是以Newton 法为基础，在其上延伸与拓展之后得到的.研究Newton 型迭代法对现代非线性方程组的研究具有重要意义[1,2].本文利用文献[3]的思想，结合非线性方程组的数值解法对现有的迭代法进行改进，得到了四类新的Newton 型迭代方法.数值实验表明，这四种迭代算法比Newton 法收敛速度更快.

2 格式的构造

设F(x):D ⊂Rn →Rn，考虑非线性方程组

求解此类非线性方程组最基本的方法就是Newton 迭代法，Newton 迭代法是一个既简单又十分重要的方法.它的迭代格式为

以上为Newton 迭代法的n维迭代格式.

求解非线性方程的Newton 法是

文献[3]中给出了一种求解非线性方程Newton 迭代法的改进，迭代格式为，对r ∈[1/2,1][3,4]：

从几何[5]上来看，这种迭代方式是将Newton 法中(xk,f(xk))点的切线改变成了另外一点

的切线，使得收敛速度更快.于是，我们将其直接推广到n维，可以得到以下迭代方式，对r ∈[1/2,1]：

以上则为文中求解非线性方程组的第一种Newton 型迭代格式.此种方法相较于Newton 迭代法而言，每次迭代需要多求一次逆矩阵.虽然能加快收敛速度，但是计算量巨大.这种迭代方法对非线性方程适用，对于求解非线性方程组很可能计算量太大导致无法进行.

简化的牛顿方法[6]又给了我们一种新的思路，就是以F′(x0)来替代F′(xk)，达到简化运算的目的，即除了第一次需要求两次……