葛志新, 李春源, 陈咸奖

(1- 安徽工业大学数理学院，马鞍山 243002; 2- 安徽工业大学商学院，马鞍山 243002)

1 引言

分数阶导数的Riemann-Liouville 定义和Caputo 定义[1-3]，都含有自变量的卷积部分的积分，可以表示对自变量的累积效应，因此对沾滞问题、记忆问题和遗传问题有很好的描述.近年来，学术界对分数阶导数的研究已形成热点，学者们已广泛研究了分数阶导数的各种性质，在微分方程领域也掀起了研究的热潮，研究各种类型方程的分数阶导数对解的影响[4-16].所用方法有数值法、迭代法、多重尺度法.多种数学方法的发展，使我们能够更好的研究各种数学模型的性质.例如利用多重尺度法研究二维方程的波动问题[13].在波动问题中，对二维方程研究比较多，对三维波动方程模型研究比较少.我们遇到的实际波动问题往往非常复杂，例如地震勘探、石油勘探的弹性波，这些都是三维问题，或者是多种波动的合成.

本文从摄动的角度，对用分数阶导数表示负阻尼的三维波动方程[13]进行研究.考虑三维波在沾滞的介质中传播问题

2 渐近解

我们将φx(x,y,1+εsinkωx), φz(x,y,1+εsinkωx)在z=1 处展开，得

将(4),(5)代入(3)得

引入多重尺度x0=x, x1=εx，则

并把(7)—(9)代入到(1),(2),(6)中，比较ε同次幂的系数得

利用分离变量法，设(10)的解为φ0(x0,x1,y,z) =X(x0)Y(y)Z(z)，由方程形式可以解出方程，其解为

所以，(13),(15)转化为

其中

即

我们寻找下式的解

即

我们把(21)代入(14),(17),(18)，得

因为方程(22)是自伴的，取伴随问题的解[13]u= cosnπz，方程(22)两边都乘以u=cosnπz，并在[0,1]上积分.利用分部积分法，我们可以得到可解性条件

即

利用(23)得

即

同理由(24),(25)，当m/=0 时……