李长春

教材中的例题和习题都是经过专家反复打磨、精心设计而成的，具有很强的针对性和典型性，也是同学们获取知识和方法、发展能力的重要载体。在“图形的相似”这一章中，就有一个大家非常熟悉的基本图形。

【原题再现】（苏科版数学教材九年级下册第54页例1）如图1，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC。试说明△ADE与△ABC相似的理由。

这是一个基本模型，因为整个图形像个英文字母A，所以我们称它为“A”型。很多试题中都有它的身影。我们先来看看这个模型在习题中的变式。

【习题再现】（苏科版数学教材九年级下册第65页习题6.4第3题）如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，EF∥BC，交AD于点G。

（1）图中有几对相似三角形？是哪几对？

（2）[EGBD]与[FGCD]相等吗？为什么？

【思路分析】（1）将原图形进行分解，可得到3对“A”型相似三角形，分别是△AEG∽△ABD、△AGF∽△ADC、△AEF∽△ABC;（2）由△AEG∽△ABD，得[EGBD]=[AGAD]，由△AGF∽△ADC，得[AGAD]=[FGCD]，所以[EGBD]=[FGCD]。

从图形的形状上来看，因为其像两个并排放置的英文字母A，所以我们不妨称其为“双A”型。将第（2）问中的结论变形也可得到[EGFG]=[BDCD]，我们可以称之为“双A”型性质1。

特别地，当点G为EF的中点时，则点D为BC的中点;反之，当点D为BC的中点时，则点G为EF的中点。我们可以称之为“双A”型性质2。

在解題中若能发现“双A”型，并灵活运用这些结论，往往能解决不少看似无从下手的难题。特选出几例与大家分享。

一、隐藏在正方形中的“双A”型

例1 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点。若AB=AC=9，求MN的长。

【思路分析】由正方形DEFG得DE∥BC，由“双A”型的性质1可得[DMMN]=[BGGF]，由正方形DEFG以及AB=AC、∠BAC=90°易得BG=DG=GF，所以DM=MN。同理可得MN=NE，所以MN=[13]DE。又因为DE=GF=[13]BC=[13]×[92]=[32]，所以MN=[13]DE=[2]。

【总结提炼】本题两次运用“双A”型相似模型，结合正方形和等腰直角三角形的性质，使问题顺利得解。……