朱鸣

在解决网格图形中的锐角三角函数问题时，我们往往借助格点来确定直角三角形，并通过对图形的平移、翻折、旋转等变换，将锐角放置其中，从而达到解决问题的目的。

【引例】在如图1所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，求tan∠ACB的值。

【思路一】“内引”：其思路是在三角形内部作高，通过构造直角三角形解决问题。如图2，过点B作BF⊥AC交AC于点F，将∠ACB放置于Rt△BCF中，通过等积法两次计算△ABC的面积，一次以AB为底，一次以AC为底，求出BF的长，然后在Rt△BCF中求出CF的长，从而解决问题。这种方法也是解决此类问题的通法。

【思路二】“外联”：其思路是通过延长已知线段，或连接某些格点，在原三角形外部进行扩充，将所求问题放置其中予以解决。如图2，我们可以将视角集中于整个网格图形的左下侧，通过延长线段CB至格点E，再连接AE，即可构造Rt△ACE。由于每个小正方形的对角线长度相等，所以tan∠ACB=[AECE]=[13]。

无论是“内引”还是“外联”，其目的都是构造直角三角形，为求锐角三角函数创造条件。下面我们结合图形的变换来探讨这两种方法的运用。

一、通过平移进行外联

在网格图中，格点之间连线的交点不一定在格点处，形成的锐角也往往不在直角三角形中，如何求它们的三角函数值呢？我们先看下面的例题。

例1 在如图3所示的网格中，每个小正方形的边長均为1，点A、B、C、D都在格点上，且AB、CD相交于点P，求tan∠APD的值。

【思路分析】通过“内引”的办法比较困难，虽然过点B作CD边上的高或过点D作AB边上的高容易，但构造直角三角形后如何求出∠APD的对边却比较困难。……