王拴虎，田颖异，王 民，代富平

(西北工业大学 物理科学与技术学院，陕西 西安 710129)

固体物理是大多数国内高校物理学专业和材料学专业均开设的本科必修课[1].学生在学习固体物理的过程中，不仅会学到很多将来在科研中非常重要的实用知识，而且还会加深对先前所学知识的认识[2].

深入分析固体物理研究电子行为的方法，不难看出，固体物理学处理电子的问题依然是基于非相对论量子力学，即薛定谔方程展开的.只是在固体物理中，薛定谔方程的势能项较为复杂，通常需要采取各种近似加以求解，才能获得电子的色散关系，再结合能态密度的分析，从而讨论固体中电子的各种特性和行为.因为固体中电子的速度远小于光速，因此电子的相对论行为通常忽略不计.然而在实际研究中，一些相对论效应有时不能忽略，例如电子的自旋轨道耦合[3]或拓扑绝缘体[4,5]中的电子输运行为等.但对于本科生而言，要深入掌握这些特殊情况的电子相对论效应有一定难度.

笔者在本科物理的教学过程中发现，天体物理[6]中的中子星形成机理涉及的物理问题可以很轻松地将电子的相对论行为引入到固体物理中，让学生对相对论量子力学有所认识.同时该问题融合了部分电动力学中狭义相对论的知识，以及一些热力学统计力学的知识，将它和固体物理中电子行为相互融合和比较，不仅可以巩固已有的四大力学的知识，还能加深学生对电子这种费米子特性的认识，更重要的是能丰富学生的物理学知识，拓展学生的视野.

1 非相对论下的质量与体积关系

在固体物理的索末菲模型(作为零级近似，把电子当做被关闭在箱体中的自由电子)中[7-9]，由于电子的费米速度远小于光速，因此不考虑相对论特性，其色散关系通常可以简单地表述为

(1)

其中me为电子的质量，对于一些可以对电子做有效质量近似的材料，也可以代表电子的有效质量.ћ为狄拉克常数，k为电子波矢，下角标non代表非相对论，考虑到电子的准动量p=ћk，则式(1)也可表示为

(2)

这是我们熟知的晶体中在非相对论情况下电子动量和能量的关系式.

而在狭义相对论中，电子的动能为

(3)

其中c为真空光速，me为电子的静质量，当温度较低，即电子的速度较低时，静止质量远大于电子动能，mec2>>pc，即为非相对论情况，式(3)变为式(1).

根据固体物理对倒空间的定义，可知倒空间的状态密度为V/(2π)3，E与E+ΔE等能面之间的体积记为ΔVk，易知

(4)

其中，dSdk⊥为E与E+ΔE等能面之间的体积元，显然有

dk⊥|kE|=ΔE

(5)

(6)

Δω为E与E+ΔE等能面之间可容纳的电子数，从公式(1)可以看出，能量为各向同性，因此积分后的等能面可取球面，即

dS=4πk2

(7)

根据式(1)用E表示k，并带入式(6)，可得非相对论下电子的态密度表达式为

(8)

在T=0时，费米面以下的费米分布函数恒为1，则总电子数Ne为

(9)

其中f(E)为费米狄拉克分布函数，表达式为

(10)

(11)

(12)

从而每个电子的平均能量与电子浓度的关系为

(13)

同时在非相对论情况下，能量与压强p的关系如下

(14)

因此

(15)

以上内容均是固体物理学在本科课程中涉及的内容，由此可以看出电子的简并压力与浓度的5/3次方成正比.对于半径为R质量为M的白矮星，其内部受到的引力是非常巨大的，如此巨大的压力只能由电子向外热膨胀的力与之抗衡，当二者平衡时，则有

(16)

其中α为数量级为1的数值系数，取决于星体的密度分布.

物质的质量主要由中子和质子，即核子所提供，因此星体质量M为

M=NNmN=γNemN

(17)

其中NN为质子和中子的总数，忽略二者的质量差，将二者的质量均记为mN，γ=NN/Ne为核子数和电子数之比.对于氢原子，γ(H)=1，对于4He，γ(4He)=2因此，半径R为

(18)

由此可以看出，质量与半径成负相关，质量越大的白矮星，体积反倒越小.

同时值得注意的是，为了简化计算过程，以上的讨论过程中是基于星体处于绝对零度时展开的，这与实际情况有所不同.实际情况需要考虑高温下费米面的移动，但此处的简化并不影响最终的定性分析.

2 相对论下的质量与体积关系

当星体质量持续增大，达到一定极限时，电子需要更大的热膨胀力才能抵消相应增加的万有引力，此时电子的运动更加剧烈，其费米速度将逐渐趋向光速极限，就必须要考虑相对论效应[6,10].此时mc2<

Ere=ћc|k|

(19)

下角标re代表相对论.

将公式(19)带入式(6)，此时态密度的表达式为

(20)

在T=0时，电子总数Ne

(21)

可以得到此时的零点费米能为

(22)

单个电子平均能量为

(23)

而在相对论情况下，能量与压强p的关系如下，

(24)

因此，

(25)

此时压强和质量的关系将发生变化，得到的结果为

(26)

从式(26)可以看出，此时星体的质量已经与半径没有关系了，这意味着当星体的质量进一步增加时，星体无法通过减小体积的方式来增加压强，也就无法与万有引力对抗.星体终将因为万有引力的作用持续坍缩下去，原子核内的核子被最终挤压出来，质子与电子碰撞构成中子，从而形成中子星.

联系到前式，临界质量Mc

(27)

当γ=1且α=1时，

Mc=5×1030kg=2.5M⊙

(28)

其中M⊙为太阳质量，当γ=2时，Mc=0.625M⊙.值得一提的是，以上的计算虽然较为粗糙，但白矮星存在一个质量极限的结论是毋庸置疑的，并且与实际天文观察到的白矮星质量上限在同一个量级上，这一临界质量也被称之为钱德拉塞卡极限.详细的计算需要考虑α的具体数值，以及费米面在高温下的变化等因素.深入计算表明，如果γ=1，即白矮星是由氢构成的，则Mc=5.6M⊙，而如果γ=2，即白矮星是由氦构成的，则Mc=1.4M⊙.在实际天文观察中，白矮星的质量均小于1.4M⊙，因此可以判断白矮星的主要成分为氦.

3 总结

综上所述，不难发现，中子星形成机理的推算过程完全可以建立在固体物理中对电子行为的讨论上.在此基础上引入相对论修正，即可推导出白矮星的质量极限，即钱德拉塞卡极限.将此过程引入到固体物理的教学中，不仅可以加深学生对固体中电子色散关系的认识，还能极大地拓展学生对于电子相对论行为的认识，更好地将之前所学的知识融合到一起，起到很好的温故知新的作用.