陈 燕

(兰州交通大学 数理学院, 甘肃 兰州 730070)

0 引言

整数阶微分方程在很多学科领域中起着非常重要的作用,而相比于整数阶微分方程,分数阶微分方程由于它的记忆性和遗传性能更精确地描述实际问题.近年来,分数阶微分方程已被应用在很多学科领域,如粘弹性力学、分数物理学、动力系统控制理论、混沌与湍流、反常扩散、信号处理等[1-4].

因此,越来越多数学学者开始研究分数阶发展方程,进而其相关理论也越来越深厚.各类分数阶发展方程解的存在性和唯一性也受到了广泛的研究[5-9].

文献[10]利用预解算子族{Sα,β(t)}t≥0的性质研究了如下一类分数阶发展方程mild解的渐近性及可积性.

(1)

Caputo分数阶导数是在1967年由Caputo提出的,参见文献[11],它的定义如下:

本文将在Banach空间中研究下列分数阶发展方程

(2)

本文运用Laplace变换法、Banach压缩映射原理以及Shauder不动点定理等方法证明了该类方程mild解的存在性与唯一性.

1 预备知识

设(X,‖·‖)是Banach空间,B(X)是由X→X的所有有界线性算子全体构成的空间.C(J,X)表示定义在区间J上取值于X上的连续函数全体构成的Banach空间,其范数定义为

‖x‖C=sup{‖x(t)‖,t∈J}.

可测函数x:J→X称为Bochner可积,当且仅当t→‖x(t)‖是Lebesgue可积的.

L1(J,X)表示定义在区间J上取值于X上的Bochner可积函数全体构成的Banach空间,其范数定义为

且

则称A关于角φ是ω-扇形的.

定义1[10]设A:D(A)⊂X→X为闭的线性算子,1≤α≤2,且0<β≤2,如果存在ω≥0及强连续且指数有界的算子族

Sα,β:[0,∞)→B(X),

使得

{λα:Reλ>ω}⊂ρ(A),

对∀x∈X,有

(3)

及

(4)

则称A是(α,β)-预解族的生成元,称{Sα,β(t)}t≥0是由A生成的(α,β)-预解族,其中γ是合适的复路径.

引理1[10]设1≤α,β≤2,Sα,β是由A生成的(α,β)-预解族,则

(1)对∀x∈D(A),t≥0,有

Sα,β(t)x∈D(A),Sα,β(t)Ax=ASα,β(t)x.

(2)如果x∈D(A),t≥0,则

(5)

(3)如果x∈X,t≥0，那么

且

(6)

特别地,Sα,β(0)=gβ(0)I.

(7)

记

(8)

类似于文献[12],可以得……