任如霞

(兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州 730070)

0 引言

一直以来,大家对经典抛物型方程的研究比较深入,而对退化模型的研究比较少.但是,由于实际问题的需要,特别是现代金融的发展,偏微分方程的退化越来越受到关注.例如,著名的Black-Scholes方程:

(1)

是期权定价的基本工具(见[1-4]),其中：U为期权价格；S为标的资产的价值；r为无风险利率；q为股票股利收益率；σ是波动函数.

可以看出,当S=0时,式(1)退化为常微分方程.

在一般的热传导方程中,系数识别问题已经被许多学者用不同的方法研究过.然而,很少有人考虑过退化的热传导方程.在这篇文章中,主要讨论了一个退化热传导方程的源项反演问题,即利用最终测量数据识别退化热传导方程中的源系数.这个问题可以用以下形式来表述.

问题P考虑以下二阶抛物型方程:

(2)

其中：a(x)、b(x)、c(x)和g(x)是已知的光滑函数,并且a(x)满足

a>0,a(0)=0,x∈(0,l)；

方程(2)中的源项f(x)是未知的.

假设给出终端观测值作为附加条件,即

v|t=T=ψ(x),x∈(0,l),

(3)

其中T(T>0)，ψ(x)是可以通过测量或者实验得到的已知函数.下面讨论如何根据(2)和(3)确定函数v(x,t)和f(x).

经典偏微分方程与退化偏微分方程的主要区别在于退化偏微分方程可能缺少边界条件,这也是退化逆问题的主要难点.对于方程(2),当x=0时,退化为一阶方程:

vt+b(0)vx+c(0)v=f(0).

事实上,根据著名的Fichera理论[5],可以很容易地得到在x=0的退化边界处,不应该给出边界条件.于是这里可以通过简单的计算看出抛物问题(2)是定义良好的函数.

首先将方程(2)第一个式子左右两边同时乘以-1,使得vx……