安徽省宁国市宁国中学 陈晓明 242399

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点.它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.这种一般方法有时运算量大且容易出错，而点差法的出现给问题带来新的契机.下面是笔者所在学校一道期中考试试题，课堂上笔者让学生大胆地去尝试，去思考，去表达……，结果有不少新的发现，得到许多意外收获！课堂惊喜不断，精彩纷呈！

1 课堂实录

首先出示题目，先给时间让学生充分思考.

教师：大家思考得怎样，谁来谈谈自己的想法或者困惑？

图1

教师：大家看看此解法严谨吗？

学生2：要考虑斜率是否存在.l的方程可设为y-1=k( )x-2（当斜率存在时），或x=2（当斜率不存在时）.对于本题所给的数据，x=2时中点P的坐标为( )2,0，符合斜率存在时的轨迹方程2x2-y2-4x+y=0，因此可以合并.

教师：很好.分类讨论是一种重要的数学思想方法.

教师：对呀，同学们看看二次项系数2-k2为0时情况怎样？

学生4：当2-k2=0时，k=±2，因此直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点，此时原方程成为一元一次方程，只有唯一解.所以这种情况不成立.

教师：我们这几位同学太厉害了，找到了错解1中很不容易发现的3个逻辑错误.

学生6（错解2：点差法）：前面我们学习椭圆时出现中点弦问题我们用了点差法，我这里也试着用，发现真还行得通.

图2

教师：真是简单多了！